Dividir um triângulo em duas partes equivalentes
por uma perpendicular a um dos seus lados
por uma perpendicular a um dos seus lados
Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar que para qualquer triângulo e um dos seus lados há uma perpendicular a esse lado que o divide em dois polígonos equivalentes
O enunciado do problema desta entrada é:
Dado um triângulo acutângulo ABC determinar uma perpendicular a BC,por exemplo, que divide ABC em duas partes iguais em área.
- Apresenta-se inicialmente um triângulo ABC.
- Sabemos que, das perpendiculares a BC, a altura AD divide o triângulo ABC em duas partes.
Quando e só quando D é o ponto médio de BC, ABD é equivalente a ACD e o segmento de reta que procuramos é a altura AD - Quando a área de ABD é maior que a área de BAD, a reta perpendicular que procuramos é paralela à altura e há-de cortar os lados AB e BC. Designemos por A′ e D′ esses pontos de intersecção que definem a reta perpendicular a BC que divide em duas partes equivalentes o triângulo [ABC]=[A′BD′]∪[AA′D′C]∧Área de [A′BD′]=Área de [AA′D′C]
Como determinamos D′? -
Quando a área de ABD é menor que a área de ADC, a reta perpendicular que procuramos é paralela à altura e há-de cortar os lados AC e BC. Designemos por A′ e D′ esses pontos de intersecção que definem a reta perpendicular a BC que divide em duas partes equivalentes o triângulo [ABC]=[A′CD′]∪[D′A′AB]∧Área de [A′D′C]=Área de [D′A′AB]
Para este caso, a determinação de D′ segue os mesmos passos.
- Sabemos que, das perpendiculares a BC, a altura AD divide o triângulo ABC em duas partes.
- Na figura agora apresentada, estão visíveis todos os elementos construtíveis auxiliares para a determinação da perpendicular A′D′ tal que [ABC]=[A′BD′]∪[AA′D′C]∧Área de [A′BD′]=Área de [AA′D′C]. Se se verificam as condições de divisão de ABC em duas partes equivalentes, então Área de[ABC]=2×Área de[A′BD′]ouÁrea de[A′BD′]=12Área de[ABC] que é o mesmo que dizer BD′×A′D′2=12×BC×AD2 e, tomando o ponto M médio de BC, que é tal que BM=BC2, podemos escrever Área de[A′BD′]=BD′×A′D′2=12(BM×DA) A condição para a posição de A′D′ pode assim resumir-se a BD′×A′D′=BM×DAouBD′BM=DAD′A′ Como A′D′ e AD são perpendiculares à mesma BC, os triângulos ABD e A′BD′ são retângulos com um ângulo comum ˆB. DAD′A′=BDBD′ E podemos assim escrever BD′BM=BDB′D′ouBD′2=BM×BD o que nos determina a posição de D′ sobre BC. Na nossa construção optámos por considerar a potência do ponto B relativa à circunferência de diâmetro MD e como o segmento da tangente a esse círculo tirada por B é tal que BT2=BM×BD sendo T o ponto de tangência, D′ determina-se como um ponto de intersecção [BC]∩(B,BT)
- Realçam-se o triângulo A′BD′ de área igual a metade da área de ABC e o equivalente quadrilátero AA′D′C ambos azulados.
- Quando passa para a etapa 4 na barra de navegação dos passos de construção, verá o mesmo que viu na etapa anterior a menos que coloque A numa posição para a qual a área de ABD seja menor que a área de CAD. Deslocando A para o lado de B passará pelo caso em que AD divide ABC em dois triângulos iguais e finalmente para o caso em que uma perpendicular a BC divide ABC em duas partes equivalentes: CA′D′ e ABD′A′ esverdeadas.
26 agosto 2017, Criado com GeoGebra
Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947
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