Trilátero abc e áreas de paralelogramos construídos sobre a, b, c exteriormente
Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar que há um paralelogramo em que um dos lados é BC equivalente à soma de dois paralelogramos construídos sobre os lados AB e AC exteriormente ao triângulo ABC
O enunciado do problema desta entrada é:
Construir (e demonstrar) que dado um triângulo ABC qualquer e dois paralelogramos cada um sobre um de dois dos seus lados, por exemplo AB e AC, construídos exteriormente ao triângulo dado, construir um paralelogramo sobre o terceiro lado BC cuja área seja igual à soma das áreas dos primeiros dois paralelogramos.
- Apresenta-se inicialmente um triângulo ABC qualquer (A,B,C livres no plano da construção)
- Sobre AB aparece construído um paralelogramos ABDE em que D é um ponto qualquer no exterior de ABC e no semiplano determinado por AB sem pontos interiores de ABC. O quarto ponto E do paralelogramo é a interseção da paralela a BD tirada por A com a paralela a AB tirada por D
- De modo análogo se construíu o paralelogramo ACFG em que F tem graus de liberdade num semiplano para o exterior de ABC dos determinados por AC.
- A construção do paralelogramo BCKL que é tal que
Área de[BCKL]=Área de[ABDE]+Área de[ACFG]
apoia-se exclusivamente na Proposição XXXV. PROB. do LIVRO I de “Os Elementos”: Os paralelogramos que estão sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais.
- Como as retas AB e AC se intersetam em A também as suas paralelas a AB tirada por D e a AC tirada por F se interseta, denominemos por H o ponto DE.FG
- E se considerarmos os paralelogramos ABB′H e ACC′H(BB′∥CC′∥AH, pela proposição referida acima, verificam-se as equivalências: [ABDE]≃[ABB′H] e [ACFG]≃[ACC′H].
- Repare-se que estes paralelogramos têm em comum um lado AH com os mesmos comprimento e direção de BB′ e CC′
- Se tomarmos as retas BB′ e CC′ paralelas a AH podemos considerar novos paralelogramos entre a reta AH (que é a mesma que MN em que M é AH.BC e MN=AH) por um lado e por outro BL, ou CK. Assim, recorrendo à Prop. XXXV, sabemos que [ABB′H]≃[BLNM] e [ACC′H]≃[CKNM].
- Ora [BLNM]∪[CKNM]=[BCKL], que é um paralelogramo, e consideradas as equivalências confirmadas, em consequência Área de[BCKL]=Área de[ABDE]+Área de[ACFG].
- Finalmente realçam-se os segmentos que são os lados dos diferentes paralelogramos auxiliares das demonstração e construção do paralelogramo BCKL cuja área é igual à soma das áreas dos paralelogramos ABDE e ACFG. □
17 agosto 2017, Criado com GeoGebra
Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947
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