Problema: Num quadrado de lado \;L,\; inscrever um quadrado de lado \;l.\;
Vilela, António Lôbo. Métodos GeométricosMétodos Geométricos. Editorial Inquérito, Lda. Lisboa:1939
Este é um bom exemplo da utilidade do método contrário.
O problema proposto consiste em construir um quadrado \;[ABCD]\; de lado \;L\; e a partir dele construir um outro quadrado \;[EFGH]\; de lado \;l\; de tal modo que cada um dos seus vértices incida num lado do quadrado de lado \;L.\;
Ao resolvermos o problema contrário, resolvido fica o problema proposto.
O problema contrário do proposto consiste em construir um quadrado \;[EFGH]\; de lado \;l\; e a partir dele construir um outro quadrado \;[ABCD]\; de lado \;L\; de tal modo que cada um dos seus lados incida num vértice do quadrado de lado \;l.\;
A sequência das três partes da construção pode ser vista, fazendo variar os valores \;n\; no cursor \; \fbox{n=1, 2, 3}
Vilela, António Lôbo. Métodos GeométricosMétodos Geométricos. Editorial Inquérito, Lda. Lisboa:1939
Este é um bom exemplo da utilidade do método contrário.
O problema proposto consiste em construir um quadrado \;[ABCD]\; de lado \;L\; e a partir dele construir um outro quadrado \;[EFGH]\; de lado \;l\; de tal modo que cada um dos seus vértices incida num lado do quadrado de lado \;L.\;
Ao resolvermos o problema contrário, resolvido fica o problema proposto.
O problema contrário do proposto consiste em construir um quadrado \;[EFGH]\; de lado \;l\; e a partir dele construir um outro quadrado \;[ABCD]\; de lado \;L\; de tal modo que cada um dos seus lados incida num vértice do quadrado de lado \;l.\;
A sequência das três partes da construção pode ser vista, fazendo variar os valores \;n\; no cursor \; \fbox{n=1, 2, 3}
- Começamos então pela construção de um quadrado \;[EFGH]\; de lado \;l.\;
- Como queremos construir um quadrado de lado \;L\; circunscrito a \;[EFGH]\; precisamos de construir quatro segmentos de comprimento \;L\; cada um a passar por um vértice do quadrado de lado \;l\; e tais que os seus extremos se encontrem sobre circunferências cujos diâmetros sejam lados consecutivos de \;[EFGH].\; Para isso, começámos pelos lados \;HG\; e \;HE\; e as circunferências de diâmetros \;HE\; e \;HG\; e procuramos a reta que passando por \;H,\; determine um segmento de comprimento \;L\; nas duas circunferências que se cortam em \;H.\; Como vimos, na vinheta anterior, bastar-nos-á determinar um ponto \;D\; de interseção da circunferência de diâmetro com extremos nos pontos médios dos lado \;HE\; e \;HG\; com a circunferência centrado no ponto médio de \;HG\; e raio \;\frac{ L}{2} ,\; para obter uma corda de tamanho \;\frac{ L}{2} .\;
- A reta paralela a essa que passa por \;H\; determina nas circunferências de diâmetros \;HE\; e \;HG\; um segmento \;CD\; de comprimento \;L\; a passar por \; H.\; E o quadrado \;[ABCD]\; de lado \;L\; pode determinar-se pelas perpendiculares a \;CD\; em \;D,\; a \;CD \; em \;C,\; a \; DA\; em \;A.\; Os vértices assim obtidos são vértices de triângulos retângulos inscritos em semicircunferências cujos diâmetros são lados do quadrado \;[EFHGH]
© geometrias, 22 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra
- Para que o problema seja possível (tenha solução) é preciso que \;L\; seja no máximo igual à diagonal do quadrado de lado \;l\;, seja, que \;L\leq l\sqrt{l}. \; O mais seguro teria sido considerar \;l \leq L\leq l\sqrt{l}, \; cuidado que não tivemos.
- O problema proposto podia resolver-se sem recurso ao problema contrário. Como sabemos, uma circunferência com centro no centro do quadrado \;[ABCD]\; e de raio igual a metade da diagonal de um quadrado de lado \;l\; que é \; \displaystyle \frac{l\sqrt{2}}{2}\; perfeitamente construtível com régua e compasso. Esta circunferência é circunscrita ao quadrado \;[EFGH]\; e, por isso, interseta lados opostos do quadrado \;[ABCD]\; circunscrito em vértices opostos do quadrado \;EFGH]\; inscrito.
