19.6.14

Resolver problemas de construção, usando análise e síntese (1)


Muitas vezes, um problema é construído a partir da sua solução, feito pela observação de resultados de operações sobre ela, ou transformações dela, de que se não deixa rasto. Por isso, muito frequentemente, um problema não é um verdadeiro problema (desafio) para quem apresenta o seu enunciado. A resolução de problemas faz parte da essência da aprendizagem, vital para o desenvolvimento do raciocínio reconstrutivo
Quando olhamos para um problema, o mais natural é não vermos a sua solução até porque ela pode estar escondida num detalhe de que só tomamos conhecimento quando decompomos o problema em partes (quando fazemos a análise da substância do dito) e isso significa que olhamos para o problema como se ele estivesse resolvido, procurando identificar tanto os elementos nele envolvidos como as relações entre eles. Dizemos comumente que a análise tem a ver com ser natural e o sintético (enunciado da lei ou do problema) tem a ver com ser artificial.
O raciocínio analítico é fundamental para resolver problemas de construção geométrica. A generalidade dos autores, que apresentam soluções para os problemas básicos que propõem, referem-se explicitamente aos métodos analíticos e sintéticos para cada problema.
Assim faz Charles Lutwidge Dodgson - romancista, contista, fabulista, poeta, desenhador, fotógrafo, matemático e reverendo anglicano britânico, que viveu de 1832 a 1898 e lecionou matemática (lógica) em Oxford, Christ College - mais conhecido pelo seu pseudónimo Lewis Carroll.
Há um livro, em português, editado em 2008 por RBA Coleccionables, S.A. que reúne, de C.L.D. "Um conto enredado" de 1880…… e "Problemas de Almofada criados durante as horas passadas acordado" de 1893…… . Deste livro, se transcreveu um problema na "dia-a-dia com a Matemática, Associação de Professores de Matemática, 2011/2012- Agenda do Professor" e que republicamos nesta página


Problema:     Num triângulo dado, traçar uma linha paralela à base de tal forma que os comprimentos dos segmentos dos lados intersetados entre esta e a base sejam, somados, iguais ao comprimento da base.
São dados $\;A, \;B, \;C\;$. Resolver o problema consiste em determinar, por construção, pontos $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ e $\;E\;$ sobre $\;AC\;$, de tal forma que $\;DE \parallel BC \wedge BC= BD+CE\;$


Considerando que, para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.

  1. No problema resolvido temos os pontos dados $\;A, \;B, \;C\;$ e também os pontos $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ e $\;E\;$ sobre $\;AC\;$, de tal forma que $\;DE \parallel BC \wedge BC= BD+CE\;$
  2. Nas condições do problema resolvido, como $\;BD=CE\;$,
    • a circunferência $(\;B, \;BD)\;$ de centro em $\;B\;$ e raio $\;BD\;$ interseta $\;AB\;$ em $\;D\;$ e $\;BC\;$ num outro ponto que designamos por $\;F;$
    • Do mesmo modo, a circunferência $(\;C, \;CE)\;$ de centro em $\;C\;$ e raio $\;CE\;$ interseta $\;AC\;$ em $\;E\;$ e $\;BC\;$ no ponto $\;F,\;$
    • já que $\;BD+CE= BC= BF+FC.\;$
  3. Por ser $\;BF=BD\;$ no triângulo $\;BFD\;$, $\;B\hat{D}F=B\hat{F}D\; = \;$ (pela Prop. 29 (Livro I, Elementos de Euclides), como $\;DE \parallel BC \;$) $\;= F\hat{D}E.\;$ De forma análoga, também $C\hat{E}F = F\hat{E}D\;$ (ângulos alternos internos)
    Por ser $\; B\hat{F}D\; = F\hat{D}E$, $\;FD\;$ bisseta o ângulo $\;B\hat{D}E.\;$ E, de modo análogo, $\;FE\;$ bisseta o ângulo $\; C\hat{E}D.\;$
    Se o ponto $\;F\;$, interseção de duas bissetrizes externas do triângulo $\;ADE\;$, é o centro de uma das circunferências ex-inscritas desse triângulo e está sobre a bissetriz do ângulo $D\hat{A}E$
  4. $\;F\;$ é um ponto equidistante dos três lados $\;DE, \;AD, \;AE\;$ que está sobre a base $\;BC\;$ do triângulo $\;ABC\;$
    e, assim ficamos a saber que, para resolver o nosso problema, bastaria determinar o ponto $\;F\;$ como pé em $\;BC\;$ da bissetriz do ângulo $Â$.


© geometrias, 19 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra


Pode seguir os passos da construção (sintética) fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1, 2, ..., 6}.\;$

Considerando a decomposição (análise) do problema antes feita, apresentamos, agora sinteticamente, os passos da construção.
  1. Começamos por bissetar o ângulo $\;C\hat{A}B\;$ com a reta $\;AF\;$, sendo $\;F\;$ o pé da bissetriz em $\;BC.\;$
  2. Tiramos por $\;F\;$ as perpendiculares a $\;AC\;$ e a $\;AB\;$, respetivamente $\;FB'\;$ e $\;FC'\;$
    Como $\;F\;$ é um ponto da bissetriz de $\; C\hat{A}B,\;$ $\;FB'=FC'.\;$
  3. A seguir, traçamos a circunferência de centro em $\;F\;$ que passa por $\;B'\;$ e $\;C'\;$. E tiramos por $\;F\;$ um outro raio $\;FA'\;$ perpendicular a $\;BC\;$. A perpendicular a $\;FA'\;$ que interseta $\;AB\;$ em $\;D\;$ e $\;AC\,$ em $\;E\;$ é paralela a $\;BC.\;$
  4. Os ângulos $\;A',\; B',\; C'\;$ são retos e $\;FA'=FB'=FC':\;$ $\;FD\;$ é hipotenusa comum de dois triângulos retângulos iguais ( $\;[C'FD] = [FA'D]\;$ ) e, por isso, $\;FD\;$ é bissetriz de $\;B\hat{D}E.\;$ De modo análogo, podemos ver que $\;FE\;$ é bissetriz de $\;C\hat{E}D.\;$
  5. Como $\;B\hat{F}D = F\hat{D}A'\;$ (por serem ângulos alternos internos) e $\;F\hat{D}A'= F\hat{D}B\;$ (por $\;FD\;$ ser bissetriz de $\;BDE\;$), então $\;B\hat{F}D = F\hat{D}B\;$ e, em consequência, $\;BD = BF.\;$
    De modo análogo, se prova que $\;CE = CF.\;$
  6. Em conclusão, $\;BC=BF+FC= BD+CE,\;$ como queríamos.
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