6.5.14

Resolver um problema de construção usando homotetias


Problema:    Determinar (com régua e compasso) os pontos de interseção de uma reta dada com uma parábola de que se conhecem a diretriz e o foco.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas.
Deve lembrar-se que uma parábola é o lugar geométrico (conjunto) dos pontos equidistantes de uma reta- diretriz - e de um ponto - foco.

© geometrias, 6 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra


Deslocando o cursor $\;\fbox{n=1, ..., 6}\;$ ao fundo à esquerda, pode seguir os passos da construção.
  1. São dadas uma reta $\;a\;$; uma reta $\;d\;$ - diretriz - e um ponto $\;F\;$ -foco -de uma parábola.
    • Que pontos da reta $\;a\;$ são pontos da parábola de diretriz $\;d\;$ e foco $\;F\;$? Estes pontos são centros de circunferências tangentes a $\;d\;$ e a passar por $\;F\;$. Não sabemos quais são; tomemos um ponto $\;A\;$, qualquer de $\;a\;$. Se este ponto for centro de uma circunferência a passar por $\;F\;$ e tangente a $\;d\;$, ele será um dos pontos que procuramos. O mais natural é que esse ponto não verifique essas condições. Em muitos problemas de construção interessa tanto saber bem o que queremos como construir uma falsa posição ( $\;A;\;$ variável sobre $\;a\;$) para conjeturar e para, a partir dela, determinar a posição solução.
  2. Tomemos o ponto $\;a.d\;$ a que chamamos $\;O\;$ e a reta $\;OF\;$
    Cada homotetia de centro $\;O\;$ é uma transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto de $\;a\;$ um ponto de $\;a\;$, a cada ponto de $\;OF\;$ um ponto de $\;OF\;$, a cada ponto de $\;d\;$ um ponto de $\;d\;$ e fica bem definida por um ponto e o seu correspondente colineares com $\;O\;$.
  3. Tomemos então um ponto $\;A\;$ sobre $\;a\;$ e a circunferência nele centrada que é tangente à diretriz em $\;T\;$, na nossa figura. Esta circunferência não passa por $\;F\;$.
  4. A circunferência $\;(A, AT)\;$ interseta a reta $\;OF\;$ em dois pontos: $\;P, \;Q\;$ tais que $\;AP=AT=AQ\;$
    • Pela homotetia $\;{\cal{H}}_1\;$ de centro $\;O\;$ que faz corresponder $\;Q\;$ a $\;F\;$, à reta $\;AQ\;$ fará corresponder uma paralela que passa por $\;F\;$ que interseta a reta $\;a\;$ num ponto $\;I\;$ e a $\;AT\;$ uma paralela $\;IK\;$.
      Por ser $\;AT=AQ\;$, é $\;IK=IF\;$, o que quer dizer que $\;I\;$ é um ponto de $\;a\;$ equidistante de $\;d\;$ e de $\;F\;$, logo uma das soluções do problema.
    • Do mesmo modo, utilizando a homotetia $\;{\cal{H}}_2\;$ de centro $\;O\;$ que transforma $\;P\;$ em $\;F\;$, $$\begin{matrix} & \;{\cal{H}}_2(O)\; & &&\\ P &\longrightarrow & F & \;\;\;P\in OF\;\;&\\ AP & \longrightarrow & FJ & \;\;\; AP \parallel FJ\;\;& \\ AT & \longrightarrow & JL &\;\;\;AT\parallel JL\;\;&AP=AT \Leftrightarrow FJ=JL\\ A &\longrightarrow & J &\;\;\;J\in a\;\;&\\ T &\longrightarrow & L & \;\;\;L\in d \;\;&\\ \end{matrix} $$ sendo $\;J\;$ assim determinado um ponto de $\;a\;$ equidistante de $\;F\;$ e de $\;d\;$, logo outra das soluções do problema.
  5. Apresentamos finalmente como ilustração a parábola de diretriz $\;d\;$ e foco $\;F$. Para ver que a demonstração/construção para além de ser, parece boa.
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