Problema: Desenhar um triângulo \;ABC\; de que é dada a posição de \;A\; e dois segmentos com comprimentos iguais a \;a+b=BC+AC\; e \;a+c=BC+AB\;.
A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas e na resolução do problema da entrada anterior.
Deslocando o cursor \;\fbox{k=1, ..., 10}\; ao fundo, pode seguir os passos da construção.
A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas e na resolução do problema da entrada anterior.
© geometrias, 14 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra
Deslocando o cursor \;\fbox{k=1, ..., 10}\; ao fundo, pode seguir os passos da construção.
- São dados o vértice \;A\; e os comprimentos \;a+b, \;a+c\;
- Se desenharmos um triângulo qualquer \;AB_1C_1\;, sendo \;AC_1 = a+b\; e \;AB_1 = a+c\;, o problema resume-se ao da anterior entrada, já que queremos \;AC=b=AC_1-a, \;AB=c=AB_1-a, BC=a\; que é o mesmo que dizer que queremos determinar os pontos \;B\; de \;AC_1\; e \;C\; de \;AB_1\; tais que \;BB_1= BC=CC_1 =a\;
Começamos por determinar os pontos \;B_1, \;C_1\; tais que \;AB_1=a+c, \;AC_1=a+b. - Traçados os lados do triângulo \;AB_1C_1\;, sobre \;AB_1\;, marcamos um ponto qualquer \;B'\;.
- Determinamos o ponto \;C''\; sobre \;AC_1\; tal que \;C_1C''=B_1B''. O mais natural é que \;C_1C''=B_1B''\neq B'C''
- Tirando por \;C''\; uma paralela a \;B_1C_1\;, esta interseta a circunferência de centro \;B'\; e raio \;B'B_1\; num ponto \;C'\; tal que \;B'B_1=B'C'=C'C'_1\; , sendo o triângulo \;A'B_1C'_1\; correspondente de AB_1C_1 por uma homotetia de centro em \;B_1\;: \begin{matrix} A_1 & \longmapsto &A\\ B_1 &\longmapsto &B_1\\ C'_1 & \longmapsto & C_1 \end{matrix}
- Essa homotetia de centro \;B_1\; fará corresponder \;C'\; a \;C= B_1C'.AC_1\; e
- \;B'\; a \;B\;, este último determinado como interseção do lado \;AB_1\; com a paralela a \;B'C'\; tirada por \;C.
- A homotetia transforma segmentos iguais em segmentos iguais. Assim, \begin{matrix} B_1B' &= &B'C'&=&C'C_1 &&\\ \downarrow&\Downarrow&\downarrow&\Downarrow&\downarrow&&\\ B_1B&=&BC&=&CC_1&=&a \end{matrix}
- \;AB =AB_1-BB_1=a+c-a=c, \; BC=a, \; AC=AC_1-C_1C= a+b-a=b\;
- Desenhámos assim um triângulo \;ABC\; que é a solução do problema, para um arbitrado ângulo \hat{A}, que pode variar deslocando \;B_1\; ou \;C_1
Sem comentários:
Enviar um comentário