3.5.14

Resolver problema de construção usando a reflexão


Problema:    Determinar um quadrado tendo dois vértices opostos sobre uma reta dada e os outros dois em duas circunferências dadas

A construção a seguir ilustra a resolução do problema que utiliza o método da anterior entrada.


© geometrias, 3 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra


Deslocando o cursor $\;\fbox{n=1, ..., 4}\;$ ao fundo à direita, pode seguir os passos da construção.
  1. São dadas uma reta $\;a\;$ e duas circunferências $\;(O_1)\;$ e $\;(O_2)\;$.
  2. Um quadrado tem diagonais iguais e perpendiculares que se bissetam mutuamente. Pelas condições do problema, dois vértices opostos estão sobre $\;a\;$ e dos outros dois, um estará sobre $\;(O_1)\;$ e outro sobre $\;(O_2)\;$. Estes últimos estarão sobre uma perpendicular a $\;a\;$ e equidistantes do pé da perpendicular em $\;a\;$ que será o centro do quadrado.
    O método para resolver este problema de determinar dois pontos sobre uma perpendicular a $\;a\;$ equidistantes do pé da perpendicular foi apresentado na entrada anterior. Assim:
    • No caso da nossa figura, refletimos $\;(O_1)\;$ relativamente á reta $\;a\;$. $$\begin{matrix} & {\cal{E}}_a & &\\ (O_1) & \longrightarrow & (O'_1) & \\ A & \longleftarrow & C \in (O_1).(O_2) & \;\;\;\;\; AC \perp a\\ G &\longleftrightarrow &G \in a.AC & \;\;\;\;\; AG =GC\\ \end{matrix} $$
  3. Como as diagonais do quadrado são iguais os dois vértices opostos que incidem em $\;a\,$ podem obter-se como interseção de uma circunferência de centro $\;G\;$ que passe por $\;A\;$ com a reta $\;a\;$: $\;B, \;D$
    O quadrado $\;ABCD\;$ é solução do problema.
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