Problema: Determinar dois pontos cada um sobre uma de duas retas dadas de tal modo que o produto das suas distâncias a um ponto dado seja uma dada constante.
A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando no botão Resolução pode ver a solução do problema.
Não vamos apresentar outros exemplos de problemas de construção usando a inversão por termos apresentado anteriormente um conjunto considerável de aplicações da inversão.
A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando no botão Resolução pode ver a solução do problema.
© geometrias, 26 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra
- São dadas: duas retas $\;r_1, \;r_2\;$, um ponto $\;O\;$ e um número $\;k\;$.
- Procuramos um ponto $\;P_1\;$ de $\;r_1\;$ e um outro $\;P_2\;$ de $\;r_2\;$, tais que $\;OP_1 \times OP_2 = k^2$, o mesmo é dizer que
$\;P_1\;$ e $\;P_2\;$ são correspondentes pelas inversão de centro $\;O\;$ e potência $\;k^2\;$.
Tomamos, por isso, para circunferência de inversão $\;(O, \;k)\;$ tracejada a vermelho. -
Pela inversão $\;{\cal{I}}(O, \;k^2)$, a reta $\;r_1\;$ é transformada numa circunferência (tracejada a azul) que passa por $\;O\;$ e pelos pontos de interseção da circunferência de inversão com a reta $\;r_1$
Tomemos para ponto $\;P_2\;$ o ponto de interseção da circunferência $\;r'_1 \;$ com a reta $\;r_2\;$. Como $\;P_2\;$ de $\;r_2\;$ é um ponto de $\;r'_1\;$, terá um original $\;P_1\; $ em $\;r_1\;$, interseção desta reta com $\;OP_2\;$:
Estes pontos $\;P_1, \; P_2\;$ são solução do problema: $$OP_1 \times OP_2 =k^2$$
Não vamos apresentar outros exemplos de problemas de construção usando a inversão por termos apresentado anteriormente um conjunto considerável de aplicações da inversão.
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