26.2.13

A circunferência homológica da elipse, parábola ou hipérbole




Nas últimas entradas recorremos sempre a homologias definidas por um ponto (centro O da homologia) e por duas retas (reta e, eixo de homologia, e reta l, reta limite). Fomos, ao mesmo tempo, confirmando que a homologia preserva as propriedades de incidência, de interseção, de tangência, transformando pontos em pontos, retas em retas, cónicas em cónicas, etc. Já vimos que a homológica de uma cónica é outra cónica e que sua natureza depende da posições relativas da cónica original e da reta limite.
Com a construção desta entrada, pretendemos ilustrar, em síntese, como a circunferência é homológica da elipse, da parábola ou da hipérbole conforme a reta limite é exterior, tangente ou secante à circunferência que é o mesmo que dizer que a cónica homológica tem 0, 1 ou 2 pontos impróprios (respetivamente)
Na construção, tomamos uma circunferência e sobre ela cinco pontos {Ai: i= 1, 2, ..., 5} dos quais determinámos as imagens por uma homologia definida por um centro O, um eixo e, uma reta limite l. Por exemplo, {A'1} = (A1I.e)I'.OA1 que é o mesmo que dizer que A'1 é a interseção de OA1 com a paralela a OI tirada pelo ponto A1I.e; ... e que conhecidos A1, A'1 e A2, o homólogo deste é A'2 que se obtém por sabermos que A'2 está sobre a reta OA2 e A1A2 . A'1A'2 é um ponto do eixo e.
Pode fazer variar a homologia, deslocando qualquer dos definidores (O, e, l). Se deslocar l, usando o ponto L, pode ver o que acontece quando l é secante, tangente ou exterior à circunferência.
Provisoriamente não pode fazer variar a homologia (construção em restauração)



Nas próximas entradas vamos tratar da preservação de outras propriedades por uma homologia, particularmente as propriedades polares entre elementos homológos. Claro que já vimos na construção da entrada anterior que a tangente a uma cónica tem por homóloga uma reta tangente à sua homológica.

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004
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