20.2.13

Homologia por centro, eixo e reta limite: homológico de um triângulo cortado pela reta limite

planahomologia4b.cdy Na construção que se apresenta a seguir, temos uma homologia de que conhecemos centro, eixo e reta limite. E, para essa homologia, determinámos o homológico de um triângulo ABC em posição tal que tem a reta limite corta dois dos seus lados AB e BC (como se vê quando se abre a construção).
Pelo procedimento habitual: as retas homólogas AB e A'B' encontram-se num ponto do eixo e, M. Para além de M, para termos a reta A'B', basta considerar a imagem de um dos seus pontos, I, que, por ser ponto limite de AB, tem por imagem o ponto do infinito de A'B', I'=OI.A'B'. Assim A'B' é a reta MI', paralela a OI tirada por M. Claro que A' é OA.MI' e B' é OB.MI'
Do mesmo modo, B'C' é a paralela a OJ tiradda por BC.e, K, B'C' é a reta KJ'. E C' é OC.KJ'
Como I é ponto da reta limite l e do lado AB, (o segmento) A'B' terá de conter o ponto do infinito, designamo-lo por I' isto é, o homólogo do lado AB é A'I'B'. E, do mesmo modo, o homólogo do lado BC será B'J'C'.
Esperamos que a construção apresentada seja uma boa ilustração.



Com alguns cuidados, poderá fazer variar o triângulo e mesmo a homologia (deslocando O, e e J). A figura dinâmica dará boa informação para algumas posições relativas. Foi feita para mostrar o que acontece para o caso de a reta limite cortar os lados AB e BC do triângulo.

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004
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