Homologia plana (memória)

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Temos vindo a trabalhar com transformações projetivas que relacionam pontuais diferentes (sobre a mesma reta ou não) e feixes distintos (a passar pelo mesmo ponto ou não).
Debruçarmo-nos-emos agora sobre uma transformação projetiva que transforme cada ponto (pontual,feixe) do plano num ponto (pontual, feixe) sobre o mesmo plano: trata-se da homologia (já várias vezes referida) que é uma homografia. Para definir a lei de transformação, bastar-nos-á tomar três pontos A, B, C não colineares e seus correspondentes A', B' e C' de tal modo que AA', BB' e CC' passem por um mesmo ponto O (centro da homologia). Como sabemos, do teorema de Desargues, esta condição de AA', BB' e CC' serem concorrentes num ponto é equivalente a que os pares de retas AB e A'B', AC e A'C', BC e B'C' se intersetem em pontos de uma mesma reta e (eixo da hamologia).
Tomados os pares de pontos correspondentes (A,A') e (B,B'), fica determinado um ponto AA'.BB'={O} e para um terceiro ponto C podemos tomar qualquer ponto C' como correspondente de C, desde que C' incida em CO.
Sendo AB.A'B'={L}, AC.A'C'={K}, LK=e (eixo da homologia), verifica-se que o ponto BC.B'C', J, é um ponto de e.
Vemos que fixados (A,A') (B,B') e (C,C') a respeitar a condição AA'.BB'.CC'={O} (ou a equivalente: AB.A'B', AC.A'C', BC.B'C' a incidir numa mesma reta e), fica determinado o processo para determinar o homólogo (único) de qualquer ponto X do plano: Toma-se, por exemplo, XB.e={I}, IB'.OX={X'} que é equivalente a (XA.e)A'.OX={X'}.....
A construção ilustra essa definição e os procedimentos adotados para determinar o ponto correspondente de qualquer ponto do plano. O mesmo para a pontual correspondente de qualquer pontual. Considere para exemplo a pontual de base c=AB. Um ponto P de s tem correspondente P', assim obtido: (PA.e)A'.OP que é um ponto de A'L ou seja de A'B'=c'.

Chama-se ainda a atenção para o seguinte:

1. A imagem, pela homologia, de um ponto P qualquer de e, é P: (PA.e)A'.OP={P}. Cada um dos pontos da pontual de base no eixo de homologia é imagem de si mesmo pela homologia, isto é, é um ponto duplo no sentido P=P' para a homologia.
2. A imagem do feixe de centro O é o próprio feixe. Um ponto qualquer de um reta que passe por O é um ponto dela mesma (X e X': O∈X). Cada uma das retas do feixe é transformada nela mesma, em que O e a sua intersecção com e são dois pontos duplos
3. Podemos dizer que uma homologia plana é uma transformação projetiva do plano em si mesmo tendo como elementos duplos uma pontual (sobre e) e um feixe (por O)
4. A homologia especial em que o centro O é um ponto do eixo e também toma o nome de elação.
5. O centro O da homologia pode ser um ponto impróprio (AA', BB', CC' são paralelas ou encontram-se num ponto comum que é um ponto no infinito)
6. O eixo e da homologia pode ser uma reta imprópria (Os pares de retas que passam por pontos homólogos são paralelas: AB//A'B', BC//B'C', AC//A'C', …)



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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004