Circunferência e elipse homológica: polaridade; centros, diâmetros.

Lembramos a definição de cónica como figura auto-dual dada na entrada [8.9.12]:Uma polaridade, uma cónica :     Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas.
Tomemos uma circunferência e uma homologia de que damos o centro O, o eixo e, a reta limite l. Tomamos um ponto da reta limite L₁. A polar de L₁ é a reta AB ou as tangentes à circunferência tiradas por L₁ têm A e B por pontos de tangência ou o ponto A é o polo de L₁A e o ponto B é o polo de L₁B (A é um ponto autoconjugado, pertence à sua polar L₁A). Outro ponto sobre l que nos interessa é o ponto AB.l que designamos por L₂ e que tem por polar a reta CD. O ponto P obtido como interseção de AB com CD é assim o polo de l=L₁L₂, L₂P=AB é polar de L₁ e L₁P=CD é a polar de L₂. Temos assim um triângulo L₁PL₂ autopolar (em que cada vértice é polo do lado oposto) associada à circunferência.
Claro que sendo P o polo da reta limite da homologia, o seu homólogo P' é o polo da reta imprópria da elipse homológica da circunferência. Na construção, isso está ilustrado: o quadrilátero das tangentes que circunscreve a circunferência é transformado num paralelogramo - a cada par de tangentes à circunferência que se interseta num ponto da reta limite da homologia corresponde um par de tangentes da elipse que se intersetam num ponto do infinito. A'B' é paralela às tangentes em C' e em D' e polar do seu ponto impróprio, C'D' é paralela às tangentes em A' e em B' e polar do seu ponto impróprio: A'B'.C'D'={P'}
Aos pontos autoconjugados da polaridade associada à circunferência correspondem pontos autoconjugados da polaridade associada à sua homológica elipse.
Aos pontos M e N de tangência das tangentes à circunferência tiradas por O correspondem os pontos M' e N' à elipse das tangentes tiradas por O, como está ilustrado na constução.

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Repare que na circunferência P≠K em que P é o polo da reta limite e K é o que chamamos centro da circunferência (sendo este o polo da reta do infinito; basta lembrar que K é o ponto de interseção das retas, diâmetros, que intersetam a circunferência em pontos de tangência de tangentes paralelas). P' é o centro da elipse, interseção de A'B' com C'D', sendo paralelas as tangentes em A' e em B' e sendo igualmente paralelas as tangentes à elipse em C' e em D'. (P' é também o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo circunscrito à elipse). A'B' e C'D' são diâmetros da elipse, assim chamados por Izquierdo e AAF:-).

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Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
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