Homologia plana (memória)

De uma homologia damos o centro O e o eixo e, uma reta r e a sua homóloga r'. No caso da nossa construção tomámos duas retas concorrentes em A e, de acordo com o processo de definição da homologia de centro O, se considerarmos A da pontual de base r, o seu homólogo A'=OA.r' na reta r' só pode ser A'=A (já que a reta tirada por O que passa por A também passa por A' e OA.r=OA'.r'=r.r), o que quer dizer que é um ponto duplo da homologia que sendo diferente de O é um ponto do eixo da homologia. De outro modo: Um ponto B de r tem como correspondente o ponto B'=OB.r' de r' e um ponto C' de r' tem como homólogo o ponto C=OC'.r de r e as duas retas BC.B'C'=r.r'=A, AB.A'B'=A. Se não dermos o eixo, teremos de dar mais um ponto (não incidente em r) e o seu correspondente, para definirmos o eixo da homologia.
Vamos determinar pontos limite e retas limite da homologia. Para exemplo, determinamos a imagem R' do ponto no infinito de r, R_∞: Tiremos por O a reta OR_∞ (paralela a r tirada por O). A imagem de R_∞ é o ponto R'=OR_∞.r', ponto limite.
Quando falamos de reta imprópria do plano estamos a falar da reta que contém todos os pontos no infinito do plano, também o ponto E_∞ impróprio do eixo e. Por isso a imagem pela homologia da reta imprópria do plano é R'E_∞ (paralela a e tirada por R'). Temos assim a reta limite imagem da reta no infinito do plano.
A reta limite que tem como imagem a reta no infinito do plano determina-se de forma análoga: O original do ponto no infinito de r', R'_∞, é O R'_∞.r=R e a reta limite que tem como imagem a reta imprópria do plano é RE_∞. As retas limite (original e imagem) intersetam-se no ponto impróprio de e (também ele ponto da reta imprópria do plano).

Pode movimentar pontos e retas (mudando de homologia, claro)

Experimente deslocar O e veja o que acontece quando ele incidir sobre r ou sobre r' ou sobre o eixo e. E se O coincidir com A?

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004