Exercício interativo: projetividade entre feixes

No princípio o que aqui foi apresentado foi um
]EXERCÍCIO INTERATIVO[

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De dois feixes abcd e a'b'c'd projetivos, conhecem-se abcd e a'b'c' em que a→a', b→b' e c→c'. Determine d' - imagem de d, pela projetividade definida por (abc) →(a'b'c').

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De acordo com o enunciado, apresentava-se o problema de construção que podia ser feito usando dados presentes na janela e ferramentas disponíveis para que o leitor pudesse realizar as operações necessárias para resolver o problema (encontrar a solução). Nesta restauração, ainda mantemos essa possibilidade a partir da segunda etapa em que os dados ficam expostos. Mas usando os passos (pela animação ou não) presentamos etapas da apresentação dos dados e de operações por nós escolhidas para chegar à solução.


[A.A.M.]

Usando perspetividades para determinar projetividades entre pontuais: permutações

A construção seguinte parte de uma "pontual" A,B,C - conjunto de pontos colineares. Toma-se um ponto Q, exterior a ABC, e, por ele, o feixe QA,QB cortado por uma reta arbitrária tirada por C que corta o feixe QA,QB em R e S. Ficamos com os feixes (AQ,AS,AC),(BR,BQ,BC). O ponto P de incidência comum a AS e BR define um novo feixe (PQ,PR,PS). O ponto D, colinear com ABC fica determinado univocamente por construção.
Esta construção é muito interessante para ver que compostas de diferentes perspetividades têm o mesmo efeito e serve ainda para resolver vários problemas de projetividades que definem permutações dos pontos das pontuais ABCD, ABC, etc
[A.A.M.] Por exemplo:

1. o feixe RA,RB,RC corta ABC e APS e a perspetividade de centro R leva de A para A, B para P e C para S e o feixe QA,QB,QC corta APS e ABC e a perspetividade de centro Q leva de A para A, P para D e S para B, tendo a sua composta o efeito de levar de ABC para ADB. Podemos escrever ABC →_R APS →_Q ADB
2. O mesmo efeito obteríamos se, tomássemos os feixes SA,SB,SC e respetivas secções ABC e AQR para a perspetividade de centro S e o feixe PA,PQ, PR e respetivas secções AQR e ADB ABC →_S AQR →_P ADB
3. Para obter a permutação BAC de ABC, podemos tomar uma perspetividade de centro P, seguida de uma perspetividade de centro Q, abreviadamente ABC →_P SRC →_Q BAC

Pontual de 4 pontos: permutações por projetividade

Quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados em pares por projetividade

Na construção que se segue, tomam-se quatro pontos colineares (quaisquer) A,B, C, D. Vamos provar que existe uma projetividade tal que A→B e B→A, C→D e D→C.


[A.A.M]
Sigamos os passos da construção - perspectiva e projectiva - deslocando o cursor n=1, 2, ..., 5
Sendo R um ponto não colinear com A,B,C,D, uma reta arbitrária incidindo em D corta o feixe RA, RB, RC na pontual T,Q, W. Sendo Z o ponto de incidência comum às retas AQ e RC, podemos concluir que
ABCD → BADC
Assim:
n=3 ---> pela perspetividade de centro Q, (feixe verde, cortado por RZWC e ABCD):   ABCD →ZRCW,
n=4 ---> seguida da perspetividade de centro A, (feixe azul cortado por RZWC e TQWD):    ZRCW → QTDW e
n=5 ---> da perspetividade de centro R, (feixe castanho cortado por TQWD e ABCD):    QTDW→BADC.

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Exercicios propostos por Coxeter:

1. Dados 3 pontos colineares A, B, C, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito A→B, B→A e C→C
2. Dadas três retas concorrentes a, b, c, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito abc →bac
3. Dados três pontos colineares A,B,C e três retas concorrentes a,b,c definir cinco correspondências elementares (biunívocas) cuja composta tenha o efeito
   ABC→abc.
4. Dados quatro pontos colineares A,B,C,D, determinar três perspetividades cuja composta tenha o efeito
   ABCD →DCBA

Determinar a imagem de um ponto pela projetividade entre duas pontuais da mesma base

Sobre uma mesma base r, tomemos a projetividade entre as pontuais ABCD e A'B'C'D' em que A' é a imagem de A, B'de B, C' de C. Determine D' - imagem de D, pela projetividade definida por (ABC) →(A'B'C').

[A.A.M.]

• Como as pontuais ABC e A'B'C' que definem a projectividade estão numa só base r=r', temos de projectar uma delas, seja A'B'C', numa qualquer outra outra recta que designamos por r₁ (optámos por uma reta paralela a r), a partir de um ponto V (próprio ou impróprio), no caso da nossa construção optámos por um ponto próprio: VA'.r ={A₁}, VB'.r ={B₁} e VC'.r ={C₁}.
  
• Usamos a pontual A₁B₁C₁ em r₁ e determinamos o eixo projectivo de r e r₁ pelos pontos AB₁.B₁A={A''} e BC₁.C₁B={C''}: r''= A''C''.
  
• O homólogo do ponto D é obtido pela sucessão de intersecções DA₁ . r'' ={D''},   AD'' . r₁ = {D₁} e VD₁ . r = {D'}.

Projetividade entre duas pontuais com a mesma base

Consideremos as pontuais A,  B ,  C  e  A',  B',  C',tendo por base a mesma reta. Vamos determinar a projetividade A→A',  B→B',  C→C', usando feixes de retas e pontuais como secções de feixes.
Comecemos por tomar um ponto V em que não incide a reta dos pontos A,  B,  C,  A',  B',  C'. 
E consideremos o feixe VA',  VB',  VC'.
Tomamos a pontual A₁,  B₁,  C₁ secção do feixe centrado em V por  s (auxiliar). Obviamente que A', B' ,C'  e  A₁,  B₁,  C₁ são V-perspetivos.
Teremos agora de arranjar uma pontual A₂,  B₂ ,  C₂, que é secção comum aos feixes AA₁,  AB₁,  AC₁ (por A)  e A₁A,  A₁B,  A₁C (por A₁), seguindo um processo já antes usado.


Assim:
- pela perspetividade centrada em A₁,
A→A₂,   B→B₂ ,  C→C₂;
- pela perspetividade centrada em A,
A₂→A₁,    B₂→B₁,   C₂→C₁;
- pela perspetividade centrada em V,
A₁ →A', B₁→B', C₁→C'
Concluindo:
A→A',   B→B',   C→C'.

Outra forma de definir a projetividade entre duas pontuais

Nas últimas entradas, tratámos de determinar a projetividade entre duas pontuais ABC e DEF (ou entre dois feixes abc e def).
Para isso considerámos que A→D, B→E e C→F. Em seguida tomámos os feixes por A: AD, AE, AF e por D: DA,DB,DC. Traçámos a reta que incide nos pontos de interseção de AE com DB e AF com DC. Ficando assim definidas duas perpetividades entre as pontuais ABC e DEF para a secção comum dos feixes por A e por D.
A projetividade entre as pontuais ABC e DEF aparece como a composta das duas perspetividades. Note-se que essa projetividade não é uma perspetividade, já que AD,BE e CF não têm qualquer ponto em comum.
Na figura que se segue, não vamos tomar perspetividades centradas em A e D. Tomamos pontos quaisquer sobre BE (podia ser sobre AD ou sobre CF), a saber: O₁ e O₂ e os feixes O₁A, O₁B, O₁C e O₂D, O₂E, O₂F, definindo uma reta intermédia incidindo em I=O₁A∩ O₂D K=O₁C∩O₂F. Tomamos ainda J na interseção de O₁O₂ com a reta intermédia.
A projetividade fica definida A→I→D, B→J→E e C→K→F.
Obtivemos assim a projetividade como produto de duas perspetividades. Se mover os pontos O₁ ou O₂, verá que a projetividade se pode decompor em duas perspetividades de uma infinidade de modos.

Projetividade entre quaisquer dois feixes

Será que entre dois feixes a,b,c por R e d,e,f por S (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projetividade?
Pode. Tomemos uma reta que corte a,b,c em A,B,C e outra que corte d,e,f em D,E,F. Usando o processo da anterior entrada (a castanho na figura), determina-se a projetividade entre as pontuais A,B,C e D,E,F como composta de duas perspetividades.

Temos
abc→ABC →    DEF →de f
Para cada reta x do feixe por R, há uma só reta do feixe por S que é projetiva com x (para a projetividade construída). Na edição inicial ficava como exercício a sua determinação usando as ferramentas disponíveis pelo CaR e o computador reconhecia a solução. Nesta,em GeoGebra, apresentamos os passos da construção até à solução.



Fica assim provado que há uma projetividade que transforma o feixe abc noutro def. Ficará por provar que é única.
Será que há sempre uma projectividade entre dois feixes de 4 retas?

Projectividade entre quaisquer duas pontuais?

Será que entre duas pontuais A,B,C de r e D,E,F de s (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projectividade?
Pode. Tomemos os feixes de retas AD, AE e AF (por A) e DA, DB e DC (por D) e a reta GH (=o) em que G=AE∩DB e H=AF∩DC. E tomemos I=AD∩GH. Ficam assim construidas duas perspectividades: uma que transforma a pontual A,B,C de r a pontual I,G,H de o (secções por r e o do feixe de retas incidentes em D) e outra que transforma a pontual I,G,H de o na pontual D,E,F de s (secções por o e s do feixe de retas incidentes em A).
A o chamamos eixo da projectividade que transforma a pontual A,B,C de r na pontual D,E,F de s. Escrevemos
ABC → IGH → DEF
Para cada ponto X de r, o correspondente em s, pela projetividade assim definida, será o ponto X'' de incidência comum a AX' e s, em que X' é o ponto de incidência comuma a DX e o.

Fica assim provado que há sempre uma projectividade que transforma uma pontual ABC noutra DEF (determinada como composta de duas perspectividades). Ficará por provar que é única. Para isso, bastará verificar que qualquer sequência de perspectividades relacionando ABC com DEF terá sempre o mesmo efeito sobre X.
Será que há sempre uma projectividade entre duas pontuais de 4 pontos?

Perspetividades

Tomemos duas pontuais: A, B, C sobre uma reta r e D, E, F sobre outra reta s distinta de r. Claro que podemos estabelecer várias correspondências biunívocas entre os pontos das duas pontuais (ou fileiras). Há, no entanto, correspondências biunívocas especiais. Para exemplo, tomemos A→ D, B→E e C→F. Se as retas AD, BE e CF incidirem num mesmo ponto O, dizemos que as duas fileiras estão relacionadas por uma perspetividade com centro em O (são secções de um mesmo feixe por O) ou são perspetivas.


Dualmente, se tomarmos dois feixes de retas: a, b, c incidindo em R e d, e, f incidindo em S, há várias correspondências biunívocas entre as retas dos dois feixes. Para exemplo tomemos a→d, b→e, c→f. Se as interseções dos pares de retas correspondentes A=a∩d, B=b∩e, C=c∩f incidem numa mesma reta o, dizemos que os feixes estão em perspetividade de eixo o

Projetividade

Na construção acima, tomamos uma transformação obtida pela combinação de três correspondências elementares (introduzidas na mensagem anterior). Para isso, usámos uma sequência de retas e pontos (alternadamente):

o,O, o₁, O₁, o₂, O₂,o₃, O₃, ... , o_n-1, O_n-1, o_n, O_n

Claro que tomamos os pontos O_n não incidentes em qualquer das retas o_n para que as correspondências X⁽ⁿ⁾ para x⁽ⁿ⁾ sejam biunívocas, ligando pontos da fileira de pontos X em o (ou o feixe de retas x passando por O) com o feixe das retas x⁽ⁿ⁾ passando por O_n (ou a fileira dos pontos X⁽ⁿ⁾ da reta o_n) . A esta transformação dá-se o nome de projetividade. E em vez de escrever

X→x→X'→x'→X''→x''→X'''→ ... → x^(n-1) →X⁽ⁿ⁾

escrevemos simplesmente
X →X⁽ⁿ⁾ ou x →X⁽ⁿ⁾ ou X→x⁽ⁿ⁾

Feixes e fileiras

A um conjunto de pontos distintos sobre uma mesma reta r chamamos uma fileira (ou pontual) da reta. A um conjunto de retas distintas que passam por um mesmo ponto R chamamos feixe de retas por R.
Na construção seguinte, temos uma reta r e um ponto R não incidentes. Siga as instruções:

1. Clique no botão fileira
• e observe o que acontece
2. clique de novo no botão fileira para ocultar e, em seguida, clique no botão feixe
• e observe o que acontece.
3. Finalmente mantenha os dois botões ativos

Repare que o feixe de retas a,b,c corta a reta r nos pontos A, B, C. E, por isso, podemos dizer que a fileira A,B C é a secção por r do feixe tirado por R. Se r não incide em R, há uma correspondência um a um entre A,B,C e as retas a,b,c do feixe (por A e R passa uma só reta a). A reter: há uma correspondência biunívoca em que para cada X da fileira de r, há uma só reta do feixe por R que passa por X e, em que, para cada reta x do feixe por R há um só ponto X da fileira de r.


Nota: Agradecemos a José Manuel Santos dos Santos (do IGP) que nos livrou de uma intrigante janela algébrica que se sobrepunha à construção.

Nomes da Geometria Projetiva

Nestas entradas de Geometria Projetiva, interessam-nos primordialmente noções, problemas e construções dinâmicas. Não acompanharemos a história da Geometria Projetiva, mas forçosamente aparecerão os nomes dos matemáticos que fizeram história. Por isso, aqui deixamos uma lista de Referências que estabelecem ligações a páginas onde se podem consultar as biografias e os principais resultados a que cada um ficou ligado.
A lista será enriquecida à medida que nos for chamada a atenção para os nomes de outros geómetras.

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Do último desta lista, Coxeter, retemos dois livros
The real projective plane (Cambridge: University, 1961) e
Projective geometry (New York:Springe, 1994).

As definições e nomes que vamos seguir são, em larga medida, deste último livro de Coxeter.

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weBiografias

Pappus(n.350-f.290AC)	Euclides(? -300AC)	Arquimedes(287-212AC)
Brunelleschi(1377-1446)	Alberti(1404-1472)	Kepler(1571-1630)
Desargues (1591-1661)	Georg Mohr(1640-1697)	Mascheroni (1750-1800)
Gergonne (1771-1859)	von Staudt (1770-1875)	Poncelet (1788-1788)
Chasles (1793-1880)	Karl Feuerbach (1800-1834)	Klein (1849-1925)
Coxeter(1907-2003)