A transformação a vermelho que leva A para A'' , B para B'' e C para C'', é composta de uma reflexão relativamente a b que leva A para A'1, B para B'1 e C para C'1 com a translação que leva A'1 para A'', etc sendo A'1A'' paralela a b. As transformações assim definidas tomam o nome natural de reflexões deslizantes. Assim, podemos resumir os deslocamentos do plano que deixam invariantes os comprimentos (as distâncias), ao conjunto formado por todas as translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes. Este conjutno é fechado para a operação produto ou composição e é um grupo (fechado para o produto, associativo, com elemento neutro - identidade, e em que para cada transformação há uma outra que a neutraliza). Pelos exemplos apresentados também ficámos a saber que a composição é comutativa ou que este grupo das transformações geométricas do plano é abeliano.
29.11.09
A reflexão deslizante
Uma composta de uma rotação com reflexão pode ser substituída por uma composta de translação com reflexão. Agora, com a construção que se segue, só nos interessa mostrar como a composta de qualquer translação com qualquer reflexão pode sempre ser substituída pela composta de uma reflexão com uma translação tais que o eixo da reflexão tem a mesma direcção do vector da translação. Pode verificar, desocultando a solução que apresentamos.
A transformação a vermelho que leva A para A'' , B para B'' e C para C'', é composta de uma reflexão relativamente a b que leva A para A'1, B para B'1 e C para C'1 com a translação que leva A'1 para A'', etc sendo A'1A'' paralela a b. As transformações assim definidas tomam o nome natural de reflexões deslizantes. Assim, podemos resumir os deslocamentos do plano que deixam invariantes os comprimentos (as distâncias), ao conjunto formado por todas as translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes. Este conjutno é fechado para a operação produto ou composição e é um grupo (fechado para o produto, associativo, com elemento neutro - identidade, e em que para cada transformação há uma outra que a neutraliza). Pelos exemplos apresentados também ficámos a saber que a composição é comutativa ou que este grupo das transformações geométricas do plano é abeliano.
A transformação a vermelho que leva A para A'' , B para B'' e C para C'', é composta de uma reflexão relativamente a b que leva A para A'1, B para B'1 e C para C'1 com a translação que leva A'1 para A'', etc sendo A'1A'' paralela a b. As transformações assim definidas tomam o nome natural de reflexões deslizantes. Assim, podemos resumir os deslocamentos do plano que deixam invariantes os comprimentos (as distâncias), ao conjunto formado por todas as translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes. Este conjutno é fechado para a operação produto ou composição e é um grupo (fechado para o produto, associativo, com elemento neutro - identidade, e em que para cada transformação há uma outra que a neutraliza). Pelos exemplos apresentados também ficámos a saber que a composição é comutativa ou que este grupo das transformações geométricas do plano é abeliano.
Reflexões e rotações <-> reflexões e translações
A composta de duas translações é uma translação, a composta de duas rotações é uma rotação, a composta de duas reflexões não é uma reflexão mas pode ser uma rotação ou uma translação, a composta de uma translação com uma rotação é uma rotação... A composta de uma rotação com uma reflexão pode não ser qualquer das anteriores. Não é. É qualquer coisa de diferente. Pode tentar ver isso procurando eixo de reflexão, centro de rotação ou vector de translação que leve de A para A''. Tente com o exemplo que damos a seguir (dois "clics" seguidos na área de trabalho e abre o geogebra).
Na construção dinâmica, que se segue, mostra-se que uma rotação (que leva de A' para A'') depois de uma reflexão (que leva de A para A') pode dar o mesmo resultado que uma translação seguida de uma reflexão ( a levar de A para A'')... Pode procurar a translação e a reflexão que a segue (ou precede) com esse fim. E pode verificar, desocultando a solução que apresentamos.
Na construção dinâmica, que se segue, mostra-se que uma rotação (que leva de A' para A'') depois de uma reflexão (que leva de A para A') pode dar o mesmo resultado que uma translação seguida de uma reflexão ( a levar de A para A'')... Pode procurar a translação e a reflexão que a segue (ou precede) com esse fim. E pode verificar, desocultando a solução que apresentamos.
25.11.09
Composta de uma translação com uma rotação
Em entradas anteriores, resolvemos problemas que as transformações geométricas ajudam a resolver e vimos alguns resultados sobre compostas de translações, rotações, reflexões. Particularmente, vimos que a composta de duas translações é uma translação, que a composta de duas rotações é uma rotação, enquanto que a composta de duas reflexões não é uma reflexão mas pode ser uma rotação ou uma translação. Pode ser interessante ver o que é a composta de uma translação com uma rotação. E tem especial importância ver o que pode ser a composta de uma translação com uma reflexão. Como será a composta de uma rotação com uma reflexão? Como será a composta de três reflexões? Lá iremos.
Comecemos pela composta de uma translação do plano (que transforma A em A', ...) com uma rotação do plano (que transforma A' em A'', ...). Sabemos que há uma rotação do plano que transforma A em A'', B em B'' e C em C''. O exercício que pode fazer é encontrar o centro dessa rotação e o respectivo ângulo de rotação. Pode veriicar a sua resolução, desocultando a nossa solução.
Comecemos pela composta de uma translação do plano (que transforma A em A', ...) com uma rotação do plano (que transforma A' em A'', ...). Sabemos que há uma rotação do plano que transforma A em A'', B em B'' e C em C''. O exercício que pode fazer é encontrar o centro dessa rotação e o respectivo ângulo de rotação. Pode veriicar a sua resolução, desocultando a nossa solução.
22.11.09
Problema usando translações e reflexões
Dadas duas rectas a e b, determinar a circunferência de raio dado que é tangente às duas rectas dadas.
Na construção dinâmica que se segue, pode fazer variar as rectas. Para cada raio (da circunferência visível a castanho), pode estabelecer uma conjectura, deslocando T sobre a e a circunferência de raio dado. Pode determinar a solução usando as ferramentas disponíveis. E pode depois verificar se encontrou a solução, comparando com aquela que é apresentada.
Há mais do que uma maneira de resolver o problema. No caso, seguimos uma sugestão de translação (deslocamento de um segmento perpendicular a a e de comprimento igual ao raio, já que se a é tangente à circunferência c a é perpendicular ao raio de extremo no ponto de tangência). E há uma reflexão do plano que faz corresponder a cada ponto da recta a um só ponto da recta b.
De outro modo:
Podíamos partir da constatação de que a figura do plano constituída por duas rectas quaisquer admite um eixo de simetria e desenhar a circunferência de raio dado, para depois realizar o deslocamento por translação(?) do centro arbitrário sobre a bissectriz ...
Na construção dinâmica que se segue, pode fazer variar as rectas. Para cada raio (da circunferência visível a castanho), pode estabelecer uma conjectura, deslocando T sobre a e a circunferência de raio dado. Pode determinar a solução usando as ferramentas disponíveis. E pode depois verificar se encontrou a solução, comparando com aquela que é apresentada.
Há mais do que uma maneira de resolver o problema. No caso, seguimos uma sugestão de translação (deslocamento de um segmento perpendicular a a e de comprimento igual ao raio, já que se a é tangente à circunferência c a é perpendicular ao raio de extremo no ponto de tangência). E há uma reflexão do plano que faz corresponder a cada ponto da recta a um só ponto da recta b.
De outro modo:
Podíamos partir da constatação de que a figura do plano constituída por duas rectas quaisquer admite um eixo de simetria e desenhar a circunferência de raio dado, para depois realizar o deslocamento por translação(?) do centro arbitrário sobre a bissectriz ...
20.11.09
Problema usando rotações
Tomem-se três rectas paralelas a, b e c (quaisquer). Determinar um triângulo equilátero ABC que tenha A sobre a, B sobre b e C sobre c.
O problema resolve-se usando rotações de 60º com centro num ponto qualquer da recta a, A.
Por rotação de b, obtém-se b'. A cada ponto Y de b' corresponde um ponto X de b tal que XÂY=60º. Se tomarmos C como a intersecção de b' com c, corresponde-lhe B sobre b. O triângulo assim obtido é obviamente equilátero: AB=AC (raios de uma mesma circunferência) e BÂC=60º. Na resolução dinâmica que apresentamos aqui pode deslocar as rectas a, b e c, assim como A.
Claro que há outras soluções, não só porque um dos vértices (A no caso) é um ponto arbitrário de uma das rectas paralelas (no caso a), mas também porque podia tomar-se a rotação num sentido ou noutro.
O problema resolve-se usando rotações de 60º com centro num ponto qualquer da recta a, A.
Por rotação de b, obtém-se b'. A cada ponto Y de b' corresponde um ponto X de b tal que XÂY=60º. Se tomarmos C como a intersecção de b' com c, corresponde-lhe B sobre b. O triângulo assim obtido é obviamente equilátero: AB=AC (raios de uma mesma circunferência) e BÂC=60º. Na resolução dinâmica que apresentamos aqui pode deslocar as rectas a, b e c, assim como A.
Claro que há outras soluções, não só porque um dos vértices (A no caso) é um ponto arbitrário de uma das rectas paralelas (no caso a), mas também porque podia tomar-se a rotação num sentido ou noutro.
18.11.09
Problema usando translações
Há um problema clássico de mínimos que aparece sugerido de novo por Paulo Ventura Araújo no seu Curso de Geometria (já referido neste lugar mais do que uma vez) com a indicação de que usa translações [T]. É verdade, mas, de um modo geral, nem se pensa nisso quando estamos a trabalhar com paralelogramos.
O problema do nó da auto-estrada que é o do primeiro problema (usando reflexões) de calcular a distância mais curta entre duas cidades, passando por um ponto de um recta, pode ser retomado com a localização de uma ponte numa dada direcção de tal modo que seja mínimo o percurso entre duas cidades de lados opostos do rio.
Sejam dados dois pontos A e B e duas rectas paralelas a e b cortadas por uma recta r. Determinar P sobre a e Q sobre b, de tal modo que PQ seja paralela a r e AP+PQ+QB seja mínima.
Pode mudar as rectas a, b e r, bem como os pontos A e B.
Para cada situação, pode conjecturar quais são os pontos P e Q da distância mínima e pode, desocultando a solução, verificar se acertou. Pode justificar de forma muito simples porque é aquela a solução e tentar reconstruí-la.
O problema do nó da auto-estrada que é o do primeiro problema (usando reflexões) de calcular a distância mais curta entre duas cidades, passando por um ponto de um recta, pode ser retomado com a localização de uma ponte numa dada direcção de tal modo que seja mínimo o percurso entre duas cidades de lados opostos do rio.
Sejam dados dois pontos A e B e duas rectas paralelas a e b cortadas por uma recta r. Determinar P sobre a e Q sobre b, de tal modo que PQ seja paralela a r e AP+PQ+QB seja mínima.
Pode mudar as rectas a, b e r, bem como os pontos A e B.
Para cada situação, pode conjecturar quais são os pontos P e Q da distância mínima e pode, desocultando a solução, verificar se acertou. Pode justificar de forma muito simples porque é aquela a solução e tentar reconstruí-la.
17.11.09
Segundo problema usando reflexões - 3
Na entrada Problemas usando reflexão enunciava-se o seguinte problema:
Dados dois pontos A e B, diferentes, situados entre duas rectas r e s. Qual o caminho mais curto, passando por cada uma das rectas r e s, e ligando A a B?
Na construção dinâmica que se segue, para além da possibilidade de conjecturar, pode ver a solução
Ao tomar as imagens A'r e B's por reflexões de A relativamente a r e de B relativamente a s, ficamos com o segmento de recta A'r B's.
'r B's=AR+RS+SB mínimo, porque A'rR=AR e B'sS=BS.
Dados dois pontos A e B, diferentes, situados entre duas rectas r e s. Qual o caminho mais curto, passando por cada uma das rectas r e s, e ligando A a B?
Na construção dinâmica que se segue, para além da possibilidade de conjecturar, pode ver a solução
Ao tomar as imagens A'r e B's por reflexões de A relativamente a r e de B relativamente a s, ficamos com o segmento de recta A'r B's.
'r B's=AR+RS+SB mínimo, porque A'rR=AR e B'sS=BS.
16.11.09
Problema usando reflexões
O problema resolvido na entrada anterior é muito intersssante. Aparece associado a múltiplos contextos e para ser abordado e resolvido usando ferramentas diversas. Torna-se ainda mais interessante se virmos que o mesmo raciocínio envolvendo reflexões permite resolver outros problemas. Por exemplo,
De entre todos os triângulos com um dada base e altura a ela relativa, determinar qual deles tem perímetro mínimo.
Na ilustração que se segue pode tomar várias bases e alturas e procurar, para cada par(base,altura) o triângulo de perímetro mínimo.
De facto, este problema é equivalente ao da entrada anterior, já que, fixada a base a altura, andamos à procura do caminho mais curto a partir de um vértice da base e até ao outro, passando por uma recta paralela à base e dela distanciada a altura dada.
De entre todos os triângulos com um dada base e altura a ela relativa, determinar qual deles tem perímetro mínimo.
Na ilustração que se segue pode tomar várias bases e alturas e procurar, para cada par(base,altura) o triângulo de perímetro mínimo.
De facto, este problema é equivalente ao da entrada anterior, já que, fixada a base a altura, andamos à procura do caminho mais curto a partir de um vértice da base e até ao outro, passando por uma recta paralela à base e dela distanciada a altura dada.
10.11.09
Problemas usando reflexões -1-
Os deslocamentos (isometrias) de que temos vindo a falar podem ser utilizados em muitos problemas. Um exemplo clássico:
Tomamos uma recta r e dois pontos P e Q de um dos semi-planos determinados por r. Como determinar o ponto N de r, tal que |PN|+|NQ| seja mínimo?
Na ilustração dinâmica seguinte pode mover X sobre a recta r e conjecturar o mínimo que procura. A solução (usando reflexão em relação a r) pode ser vista clicando no botão apropriado.
Tomemos o deslocamento de um dos pontos, por exemplo, Q para Q', por reflexão em relação a r. A recta r é mediatriz do segmento QQ' e, por isso, sabemos que |QN|=|Q'N| e que, como a distância de Q a r é igual à distância de Q' a r, podemos afirmar que |PQ'| (segmento de recta) é a distância mínima procurada. N fica determinado pela intersecção de PQ' com r.
Muitos problemas semelhantes a este podem ser resolvidos com recurso a reflexões que mantêm invariantes as distâncias nos deslocamentos que por via delas se realizem.
Dados dois pontos P e Q, diferentes, situados entre duas rectas r e s. Qual o caminho mais curto, passando por cada uma das rectas r e s, e ligando P a Q?
Tomamos uma recta r e dois pontos P e Q de um dos semi-planos determinados por r. Como determinar o ponto N de r, tal que |PN|+|NQ| seja mínimo?
Na ilustração dinâmica seguinte pode mover X sobre a recta r e conjecturar o mínimo que procura. A solução (usando reflexão em relação a r) pode ser vista clicando no botão apropriado.
Tomemos o deslocamento de um dos pontos, por exemplo, Q para Q', por reflexão em relação a r. A recta r é mediatriz do segmento QQ' e, por isso, sabemos que |QN|=|Q'N| e que, como a distância de Q a r é igual à distância de Q' a r, podemos afirmar que |PQ'| (segmento de recta) é a distância mínima procurada. N fica determinado pela intersecção de PQ' com r.
Muitos problemas semelhantes a este podem ser resolvidos com recurso a reflexões que mantêm invariantes as distâncias nos deslocamentos que por via delas se realizem.
Dados dois pontos P e Q, diferentes, situados entre duas rectas r e s. Qual o caminho mais curto, passando por cada uma das rectas r e s, e ligando P a Q?
Reflexões do plano
A composta de duas reflexões em relação a rectas paralelas a e b é uma translação. Pode ver-se na construção dinâmica que se segue. Nesta construção, pode movimentar o triângulo ABC e particularmente ver o que se passa quando ABC está fora da faixa definida pelas rectas a e b. Também pode deslocar as rectas a e b.
A composta de duas reflexões em relação a duas rectas concorrentes a e b é uma rotação, como a construção dinâmica que se segue bem ilustra.
A composta de duas reflexões em relação a duas rectas concorrentes a e b é uma rotação, como a construção dinâmica que se segue bem ilustra.
9.11.09
Composta de reflexões do plano (corrigida)
A composição de duas reflexões do plano não é uma reflexão, embora seja sempre um deslocamento ou isometria (translação, rotação, reflexão e compostas delas) . Apresentamos uma ilustração da composição (ou produto) de reflexões, com a esperança de mostrarmos a composta de duas reflexões do plano como um deslocamento do plano.
Na ilustração dinâmica tomamos duas reflexões a primeira relativamente a uma recta a, que leva A para A', a segunda relativamente a uma recta b, que leva A' para A''. Finalmente, a reflexão em relação à mediatriz de AA'', que leva A directamente para A''. Verá que a reflexão-a leva B para B' e C para C'; a reflexão-b leva B' para B'' e C' para C''. Mas a reflexão que leva de B para B'' não é a mesma que leva de A para A'', etc. De facto, as mediatrizes de AA'', BB'' e CC'' são distintas. O que quer dizer que não há uma reflexão do plano (3 pontos distintos) que seja a composta das reflexões do plano.
Deslocando as rectas a e b e os pontos A, B e C, pode seguir o que acontece às mediatrizes de AA'', BB'' e CC'' e pode ver o tipo de deslocamento (isometria) que o plano sofre quando lhe aplicamos a reflexão-a seguida da reflexão-b. A posição relativa das rectas a e b determina se a composta é uma translação ou se é uma rotação.
O conjunto das reflexões do plano não é fechado para o produto ou composição como o definimos aqui. Mas a composta de duas reflexões do plano é um deslocamento do plano.
Na ilustração dinâmica tomamos duas reflexões a primeira relativamente a uma recta a, que leva A para A', a segunda relativamente a uma recta b, que leva A' para A''. Finalmente, a reflexão em relação à mediatriz de AA'', que leva A directamente para A''. Verá que a reflexão-a leva B para B' e C para C'; a reflexão-b leva B' para B'' e C' para C''. Mas a reflexão que leva de B para B'' não é a mesma que leva de A para A'', etc. De facto, as mediatrizes de AA'', BB'' e CC'' são distintas. O que quer dizer que não há uma reflexão do plano (3 pontos distintos) que seja a composta das reflexões do plano.
Deslocando as rectas a e b e os pontos A, B e C, pode seguir o que acontece às mediatrizes de AA'', BB'' e CC'' e pode ver o tipo de deslocamento (isometria) que o plano sofre quando lhe aplicamos a reflexão-a seguida da reflexão-b. A posição relativa das rectas a e b determina se a composta é uma translação ou se é uma rotação.
O conjunto das reflexões do plano não é fechado para o produto ou composição como o definimos aqui. Mas a composta de duas reflexões do plano é um deslocamento do plano.
8.11.09
Grupo das rotações do plano
Tal como acontece com as translações, também o conjunto das rotações do plano munido da composição (ou produto) é um grupo. O quadro dinâmico que se segue, permite ver uma rotação de centro O e ângulo de 50º a levar A (e um polígono) para A' (no sentido horário, 310º no sentido anti-horário), e uma outra rotação de centro P e ângulo 200º no sentido horário (160º no sentido anti-horário) a levar A' para A''. Pode ver isso clicando na barra de navegação dos passos da construção.
Interessante é perceber como se determina o centro R da rotação (produto das rotações de centros O e P) que leva A directamente para A'', bem como compreender o que se passa com a determinação do ângulo dessa rotação.
Interessante é perceber como se determina o centro R da rotação (produto das rotações de centros O e P) que leva A directamente para A'', bem como compreender o que se passa com a determinação do ângulo dessa rotação.
6.11.09
Grupo dos deslocamentos do plano
Na anterior entrada, seguindo Lucien Godeaux - As Geometrias já referido, deixámos a ideia de uma geometria métrica do plano como "conjunto de propriedades das figuras que não são alteradas quanto estas últimas se submetem a translações, rotações e a reflexões em relação a uma recta". Esta ideia pode estender-se facilmente ao espaço, considerando as reflexões em relação a um plano (no espaço a reflexão relativamente a uma recta é uma meia volta em torno dessa recta).
O que é mais interessante é que se considerarmos a operação de aplicação sucessiva de alguma daquelas transformações que leva pontos P do plano para outros pontos P'', será o mesmo que aplicar uma só dessas transformações. Chamamos produto ou composição a essa aplicação sucessiva. Tomemos duas translações do plano T e T', em que a primeira leva A para um ponto A' e a segunda leva A para A''. Fácil é ver que há uma translação que leva directamente de A para A'', T'' que é a composta (ou produto) T.T'.
Na construção dinâmica que se segue, pretendemos ilustrar isso mesmo.
E esperamos que a nossa "florida" ilustração revele não só que o produto de duas translações é uma translação, mas que há para cada translação uma outra (sua inversa) que a neutraliza, sendo óbvio que a translação identidade (elemento neutro deste produto) é aquela que deixa imóveis as figuras. Fácil é ver que para além destas propriedades, a composição de translações também é associativa. Dito de outro modo, o conjunto das translações do plano munido desta operação (aplicação sucessiva) é um grupo. De facto, isto é verdade para o conjunto de deslocamentos a que nos temos vindo a referir - translações, rotações e reflexões - que, em conjunto, munidas da operação de composição ou produto, formam o grupo principal da geometria métrica. Chamamos deslocamentos (isometrias, já que os comprimentos se mantêm invariantes) a cada uma das transformações ou aos produtos (ou compostas) de quaisquer delas por qualquer ordem.
O que é mais interessante é que se considerarmos a operação de aplicação sucessiva de alguma daquelas transformações que leva pontos P do plano para outros pontos P'', será o mesmo que aplicar uma só dessas transformações. Chamamos produto ou composição a essa aplicação sucessiva. Tomemos duas translações do plano T e T', em que a primeira leva A para um ponto A' e a segunda leva A para A''. Fácil é ver que há uma translação que leva directamente de A para A'', T'' que é a composta (ou produto) T.T'.
Na construção dinâmica que se segue, pretendemos ilustrar isso mesmo.
E esperamos que a nossa "florida" ilustração revele não só que o produto de duas translações é uma translação, mas que há para cada translação uma outra (sua inversa) que a neutraliza, sendo óbvio que a translação identidade (elemento neutro deste produto) é aquela que deixa imóveis as figuras. Fácil é ver que para além destas propriedades, a composição de translações também é associativa. Dito de outro modo, o conjunto das translações do plano munido desta operação (aplicação sucessiva) é um grupo. De facto, isto é verdade para o conjunto de deslocamentos a que nos temos vindo a referir - translações, rotações e reflexões - que, em conjunto, munidas da operação de composição ou produto, formam o grupo principal da geometria métrica. Chamamos deslocamentos (isometrias, já que os comprimentos se mantêm invariantes) a cada uma das transformações ou aos produtos (ou compostas) de quaisquer delas por qualquer ordem.
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