Grupo dos deslocamentos do plano

Na anterior entrada, seguindo Lucien Godeaux - As Geometrias já referido, deixámos a ideia de uma geometria métrica do plano como "conjunto de propriedades das figuras que não são alteradas quanto estas últimas se submetem a translações, rotações e a reflexões em relação a uma recta". Esta ideia pode estender-se facilmente ao espaço, considerando as reflexões em relação a um plano (no espaço a reflexão relativamente a uma recta é uma meia volta em torno dessa recta).
O que é mais interessante é que se considerarmos a operação de aplicação sucessiva de alguma daquelas transformações que leva pontos P do plano para outros pontos P'', será o mesmo que aplicar uma só dessas transformações. Chamamos produto ou composição a essa aplicação sucessiva. Tomemos duas translações do plano T e T', em que a primeira leva A para um ponto A' e a segunda leva A para A''. Fácil é ver que há uma translação que leva directamente de A para A'', T'' que é a composta (ou produto) T.T'.
Na construção dinâmica que se segue, pretendemos ilustrar isso mesmo.




E esperamos que a nossa "florida" ilustração revele não só que o produto de duas translações é uma translação, mas que há para cada translação uma outra (sua inversa) que a neutraliza, sendo óbvio que a translação identidade (elemento neutro deste produto) é aquela que deixa imóveis as figuras. Fácil é ver que para além destas propriedades, a composição de translações também é associativa. Dito de outro modo, o conjunto das translações do plano munido desta operação (aplicação sucessiva) é um grupo. De facto, isto é verdade para o conjunto de deslocamentos a que nos temos vindo a referir - translações, rotações e reflexões - que, em conjunto, munidas da operação de composição ou produto, formam o grupo principal da geometria métrica. Chamamos deslocamentos (isometrias, já que os comprimentos se mantêm invariantes) a cada uma das transformações ou aos produtos (ou compostas) de quaisquer delas por qualquer ordem.