Nestes últimos dias, gastei muito do meu tempo a tentar melhorar a visualização para os exercícios interactivos. E tantas vezes repeti alguns que descobri um erro no exercício de transporte de comprimentos à Euclides . Ninguém deu pelo erro, mas ele lá esteve muito tempo - garanto eu. Peço a quem tenha paciência que verifique não só o exercício de transporte mas também o desempenho da coisa no seu computador. Tenho duas versões em dois servidores para ver qual delas é melhor. Hoje fui a uma reunião ao Departamento de Matemática e estive a verificar qual versão se vê melhor no computador Virgínial. Isto é complicado. Na Escola José Estêvão, em dois computadores vizinhos e ambos com sistemas win xp vêem-se coisas diferentes.
Para seguir o exercício, basta ir clicando na ferramenta - balão interrogativo - da segunda linha e ir lendo o texto que vai aparecendo na janela em primeira linha que acompanha a evolução da construção em terceira linha.
22.2.05
13.2.05
(VII) - Circunferências
São dadas três circunferências iguais, tangentes duas a duas. Determinar os centros e os raios das duas circunferências que são tangentes, uma interiormente, outra exteriormente, às circunferências dadas.
O que sugere esta proposta?
Se as três circunferências iniciais não forem iguais? Em que condições elas são tangentes duas a duas? Como encontrar as tangentes às três? Se existirem, as circunferências tangentes interior e exterior são concêntricas?
E se tomarmos quatro (ou cinco, ou seis, ...) circunferências tangentes duas a duas (iguais ou diferentes) haverá circunferências tangentes interiormente e exteriormente a todas elas? Em que condições?
(Proposta de Coronnet, Puig Adam e Aurélio Fernandes)
Num comentário que pode ler-se em anexo, a Mariana escreveu: Se resolvi bem, o centro de ambas as circunferências é a intersecção das medianas do triângulo equilátero cujos vértices são os centros das três circunferências tangentes duas a duas. O raio da circunferência interior é a distância do centro de gravidade do triângulo ao seu vértice menos o raio das cicunferências dadas. O raio da exterior é a soma da mesma distância com o raio das circunferências dadas. (Está bem?)
Interpretando o que a Mariana escreveu, construímos uma solução a que demos a forma de exercício interactivo (porque é assunto sobre o qual nos interessa muito recolher informações).
Experimente uma das versões seguintes:
< A primeira >
ou
< A segunda >
Uma delas dará boa conta do exercício.
O que sugere esta proposta?
Se as três circunferências iniciais não forem iguais? Em que condições elas são tangentes duas a duas? Como encontrar as tangentes às três? Se existirem, as circunferências tangentes interior e exterior são concêntricas?
E se tomarmos quatro (ou cinco, ou seis, ...) circunferências tangentes duas a duas (iguais ou diferentes) haverá circunferências tangentes interiormente e exteriormente a todas elas? Em que condições?
(VI) - Pontos, rectas e circunferências
São dados uma recta, um ponto A sobre a recta e uma circunferência de centro B. Traçar a circunferência tangente à recta em A e tangente à circunferência de centro B.
[A.A.F.]
(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)
[A.A.F.]
(V) - Raios de Circunferências
São dadas duas circunferências: uma de centro A e raio s, outra de centro B e raio t.
Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas circunferências dadas,
Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas circunferências dadas,
(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)
Pois! Sofia Isabel Fonseca Miranda escolheu este problema e apresentou uma resolução que aqui se publica.
(IV) - Rectas e circunferências
É dada uma circunferência de centro C e raio s; é dada uma recta m. Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente à recta m e à circunferência de centro C.
[A.A.F.]
(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)
[A.A.F.]
(III) - Rectas e circunferências
Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas rectas concorrentes dadas.
Resolução enviada por Brigite Simões da Silva em carta publicada em 29 de Maio de 2005.
(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)
Resolução enviada por Brigite Simões da Silva em carta publicada em 29 de Maio de 2005.
Resolução enviada por Brigite Simões da Silva em carta publicada em 29 de Maio de 2005.
Se quer ver a construção proposta por Brigite Silva, basta clicar aqui ou sobre a ilustração.
(II) - Pontos, rectas e circunferências
(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)
[A.A.F.]
Tomamos um ponto qualquer de uma das rectas, A sobre a, e por ele uma recta perpendicular a a. A distãncia entre as duas rectas a e b é |AB|. Pelo ponto médio de [AB],C, tomemos a recta paralela às duas a e b. Qualquer circunferência tangente a a e b terá o seu centro sobre essa paralela que passa por C, sendo o seu raio |AC|. Bastará, agora tomar uma circunferência de centro em P e raio |AC|. O centro da circunferência que passa por P e é tangente às rectas a e b. O raio é |AC|. Para ver a construção basta clicar sobre a ilustração. Na construção pode mover o ponto P.
Henrique escreveu no seu comentário:
O centro da circunferência tangente a duas rectas paralelas, tem de estar sobre um recta equidistante das primeiras. Depois, é preciso que o raio seja igual a metade da distância entre as rectas, sendo essa também a distância do ponto P ao centro. Não é?
E aqui fica a construção que respeita o comentário.
Julgamos poder afirmar que só há circunferência nas condições descritas quando P está entre as duas rectas paralelas. Não é?
[A.A.F.]
Tomamos um ponto qualquer de uma das rectas, A sobre a, e por ele uma recta perpendicular a a. A distãncia entre as duas rectas a e b é |AB|. Pelo ponto médio de [AB],C, tomemos a recta paralela às duas a e b. Qualquer circunferência tangente a a e b terá o seu centro sobre essa paralela que passa por C, sendo o seu raio |AC|. Bastará, agora tomar uma circunferência de centro em P e raio |AC|. O centro da circunferência que passa por P e é tangente às rectas a e b. O raio é |AC|. Para ver a construção basta clicar sobre a ilustração. Na construção pode mover o ponto P.
(I) - Pontos, rectas e circunferências
Traçar por um ponto A de uma recta r uma circunferência tangente em r a A e que passa por um ponto B exterior a r.
agora preparada para ser desmontada passo a passo
acompanhada deste texto:
1. Desenhei a recta b perpendicular a r no ponto A (ela irá conter o centro da circunferência)
2. Desenhei o segmento de recta [AB] (c)e a recta d perpendicular a [AB] no ponto B
3. C é o ponto de intersecção de d e b.
4. Como o ângulo ABC é recto está inscrito na semicircunferência de centro D, ponto médio de [AC], e diâmetro [AC].
Para ver a construção e manipular a recta e os pontos, basta clicar sobre a ilustração.
(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)
Mariana S. enviou-nos esta ilustração
1. Desenhei a recta b perpendicular a r no ponto A (ela irá conter o centro da circunferência)
2. Desenhei o segmento de recta [AB] (c)e a recta d perpendicular a [AB] no ponto B
3. C é o ponto de intersecção de d e b.
4. Como o ângulo ABC é recto está inscrito na semicircunferência de centro D, ponto médio de [AC], e diâmetro [AC].
Para ver a construção e manipular a recta e os pontos, basta clicar sobre a ilustração.
Este exercício é mais rico do que parece. De facto, a resolução da Mariana S. não é a única e, em meu entender, não é a mais natural. Tem muito interesse saber porque é que para esta ou aquela construção (ou problema), cada um mobiliza este ou aquele conceito ou noção ou método ou processo. Gosto disto.
No Trapézio
A nova proposta de António Aurélio Fernandes, como modelo para parte das publicações, é esta:
Colocamos um problema geométrico para ser resolvido por quem quiser pensar nisso e, caso saibamos ou aprendamos a resolvê-lo entretanto, passados oito dias, publicamos alguma resolução nossa ou que nos seja proposta.
Escrevam comentários ou enviem-nos resoluções (com o cinderella, gsp, cabri,... ou de papel). É claro que aceitamos que nos proponham desafios.
[O Eduardo Veloso perguntava-me recentemente, a propósito das intenções deste "blog", que exercícios não sabia eu resolver. São tantas as minhas dificuldades em Geometria, acrescidas da dificuldade das abordagens com os computadores!... Eu nem consegui ainda fazer uma simples "cindy-roulette (?)" para a ciclóide que ele propôe no seu livro Geometria (já citado em vários artigos), imaginem bem! E não estou sozinho, ... digo eu.]
Prometo que tentaremos resolver o que nos propuserem, pedir ajuda ou declararmo-nos derrotados, sempre que for caso disso. E não é pouco. Falem com a geometria. Sugiram ligações. Aceitamos todas as sugestões e conselhos.
Nós transformámos a proposta em exercício interactivo para ser resolvido com poucas ferramentas - ponto, recta a passar por dois pontos, compasso. Mantemos o balão de bd com o "?" para o caso de querer sugestões ou para ver a construção passo a passo, bem como a "<-" de voltar atrás em algum passo. Esperamos que goste.
Comentários? Diga-nos se correr mal. Diga-nos se correr bem.
Há um ano atrás, colocámos aos alunos do 10º ano, o problema de construir em verdadeira grandeza, o polígono que se obtinha quando se cortava um cubo por um determinado plano. Tratava-se de determinar a secção e construir um certo trapézio isósceles . Fez-se então uma pequena reflexão a respeito do assunto (e do uso a dar ao papel quadriculado) que se pode reviver agora. O problema que ora propomos é o mais geral.
Colocamos um problema geométrico para ser resolvido por quem quiser pensar nisso e, caso saibamos ou aprendamos a resolvê-lo entretanto, passados oito dias, publicamos alguma resolução nossa ou que nos seja proposta.
Escrevam comentários ou enviem-nos resoluções (com o cinderella, gsp, cabri,... ou de papel). É claro que aceitamos que nos proponham desafios.
[O Eduardo Veloso perguntava-me recentemente, a propósito das intenções deste "blog", que exercícios não sabia eu resolver. São tantas as minhas dificuldades em Geometria, acrescidas da dificuldade das abordagens com os computadores!... Eu nem consegui ainda fazer uma simples "cindy-roulette (?)" para a ciclóide que ele propôe no seu livro Geometria (já citado em vários artigos), imaginem bem! E não estou sozinho, ... digo eu.]
Prometo que tentaremos resolver o que nos propuserem, pedir ajuda ou declararmo-nos derrotados, sempre que for caso disso. E não é pouco. Falem com a geometria. Sugiram ligações. Aceitamos todas as sugestões e conselhos.
A primeira proposta de trabalho é a construção de um trapézio conhecidos os seus lados. E mais: Que condições devem ser satisfeitas por quatro segmentos para que haja um trapézio que os tenha por lados? [Para que 3 segmentos sejam lados de um triângulo, basta que verifiquem aquela condição de cada um deles ser menor que a soma dos outros dois. E aqui?]
Casimiro e Mariana Sacchetti fizeram uma bela construção que nos enviaram.
Parabéns aos dois.
Nós transformámos a proposta em exercício interactivo para ser resolvido com poucas ferramentas - ponto, recta a passar por dois pontos, compasso. Mantemos o balão de bd com o "?" para o caso de querer sugestões ou para ver a construção passo a passo, bem como a "<-" de voltar atrás em algum passo. Esperamos que goste.
Comentários? Diga-nos se correr mal. Diga-nos se correr bem.
Há um ano atrás, colocámos aos alunos do 10º ano, o problema de construir em verdadeira grandeza, o polígono que se obtinha quando se cortava um cubo por um determinado plano. Tratava-se de determinar a secção e construir um certo trapézio isósceles . Fez-se então uma pequena reflexão a respeito do assunto (e do uso a dar ao papel quadriculado) que se pode reviver agora. O problema que ora propomos é o mais geral.
11.2.05
Um problema de Euclides - exemplo
Dada uma semi-recta AB e um segmento de recta CD, construir um ponto H na semi-recta AB de modo que os segmentos AH e CD sejam congruentes.
Pode aceder à nossa construção [ ou outra: se não vir tudo bem na primeira, clique aqui ] feita como resolução (com instrumentos euclidianos - não há compasso que mantenha a abertura e transfira comprimentos; Postulado 3 - dados dois pontos, há (e não é pouco) uma circunferência com centro num deles e a passar pelo outro ) do problema de transporte do segmento. Estamos a experimentar a exportação de exercícios interactivos. Se as coisas correrem bem, pode tentar resover antes de ver, usando as ferramentas nele disponíveis. Sempre que tiver uma dúvida e precisar de ajuda, bastará clicar sobre a "ferramenta interrogativa(?)":-) e ser-lhe-á dada uma sugestão ou dado um passo em frente na construção. A todos quantos visitem a nossa construção, pedimos que nos informem sobre o que viram e o funcionamento do computador utilizado - alguns dos computadores que usamos mostram nada, outros mostram tudo menos as ferramentas e, por isso, ficamos sem poder dar o passo seguinte, outros mostram ferramentas esmagadas e quase irreconhecíveis, outros mostram tudo perfeito para nos dar esperanças??? que só saberemos se são infundadas ou fundadas quando as testemunhas independentes escreverem a contar o que viram ou não viram...
Demonstração:
Utiliza-se Elementos I.2 para encontrar o segmento AG congruente a CD. A circunferência com centro em A e passando por G (Post 3) intersecta a recta tirada de A para B. Seja H esse ponto de intersecção. Por definição de circunferência (Def 15) AH=AG. E como AG=CD, AH=CD (Noção comum 1) c.q.d.
Pode aceder à nossa construção [ ou outra: se não vir tudo bem na primeira, clique aqui ] feita como resolução (com instrumentos euclidianos - não há compasso que mantenha a abertura e transfira comprimentos; Postulado 3 - dados dois pontos, há (e não é pouco) uma circunferência com centro num deles e a passar pelo outro ) do problema de transporte do segmento. Estamos a experimentar a exportação de exercícios interactivos. Se as coisas correrem bem, pode tentar resover antes de ver, usando as ferramentas nele disponíveis. Sempre que tiver uma dúvida e precisar de ajuda, bastará clicar sobre a "ferramenta interrogativa(?)":-) e ser-lhe-á dada uma sugestão ou dado um passo em frente na construção. A todos quantos visitem a nossa construção, pedimos que nos informem sobre o que viram e o funcionamento do computador utilizado - alguns dos computadores que usamos mostram nada, outros mostram tudo menos as ferramentas e, por isso, ficamos sem poder dar o passo seguinte, outros mostram ferramentas esmagadas e quase irreconhecíveis, outros mostram tudo perfeito para nos dar esperanças??? que só saberemos se são infundadas ou fundadas quando as testemunhas independentes escreverem a contar o que viram ou não viram...
Demonstração:
Utiliza-se Elementos I.2 para encontrar o segmento AG congruente a CD. A circunferência com centro em A e passando por G (Post 3) intersecta a recta tirada de A para B. Seja H esse ponto de intersecção. Por definição de circunferência (Def 15) AH=AG. E como AG=CD, AH=CD (Noção comum 1) c.q.d.
Postulado 1 - Traçar uma linha recta de qualquer ponto a qualquer ponto.
Postulado 2 - Prolongar continuamente uma linha recta numa linha recta.
Postulado 3 - Descrever um círculo com um dado centro e passando por um dado ponto.
Definição 15 - Círculo é uma figura plana contida por uma linha tal que todas as linhas rectas com extremidades nessa linha e num ponto contido na figura são iguais. Este ponto chama-se centro do círculo.
Noção comum 1 - Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
Noção comum 2 - Se iguais são adicionados a iguais então os todos são iguais.
Noção comum 3 - Se iguais forem subtraídos de iguais então os restantes são iguais.
Elementos I.1 - Sobre uma linha recta dada, construir um triângulo equilátero.
Elementos I. 2. - Problema: Dado um ponto A e um segmento de recta BC, construir um ponto F tal que o segmento AF é congruente com BC.
9.2.05
Parábola
O ponto P está a igual distância de d (directriz) e de F (foco). Quando o ponto D se move sobre d, P desenha a parábola (a negro).
[A.A.F.]
A animação ativa-se clicando na seta à esquerda do fundo da janela.
A recta t (PM), mediatriz de PD é sempre tangente à parábola. A parábola é a envolvente das rectas t (exactamente como na construção da parábola como envolvente, do artigo anterior).
[A.A.F.]
A animação ativa-se clicando na seta à esquerda do fundo da janela.
A recta t (PM), mediatriz de PD é sempre tangente à parábola. A parábola é a envolvente das rectas t (exactamente como na construção da parábola como envolvente, do artigo anterior).
Parábola como envolvente
Um ponto T que se move livremente sobre uma recta está ligado a um ponto P, exterior à recta. A perpendicular a PT, em T, é tangente a uma parábola.
Clique no primeiro botão da esquerda para animar o ponto T livre na recta r para ver aparecer a parábola como envolvente das retas t perpendiculares a PT, com T a tomar as diversas posiçõessobre r. Pode parar a animação clicando no segundo botão. Pode clicar no "botão de reiniciar" na direita alta.
[A.A.M]
Estas construções das cónicas como envolventes de rectas correspondem às aproximações das cónicas que podemos obter por dobragens sucessivas de uma folha de papel. Pode experimentar obter por dobragens sucessivas as diferentes cónicas que foram sendo apresentadas.
Clique no primeiro botão da esquerda para animar o ponto T livre na recta r para ver aparecer a parábola como envolvente das retas t perpendiculares a PT, com T a tomar as diversas posiçõessobre r. Pode parar a animação clicando no segundo botão. Pode clicar no "botão de reiniciar" na direita alta.
[A.A.M]
Estas construções das cónicas como envolventes de rectas correspondem às aproximações das cónicas que podemos obter por dobragens sucessivas de uma folha de papel. Pode experimentar obter por dobragens sucessivas as diferentes cónicas que foram sendo apresentadas.
Parábolas cartesianas - de outro modo.
Se em vez de utilizarmos as operações sobre segmentos feitas usando um feixe cortado por paralelas, usarmos a altura relativa à hipotenusa de um triângulo rectângulo como meio proporcional dos segmentos em que divide a hipotenusa, podemos facilmente obter pontos em que uma das coordenadas é o quadrado da outra.
Na figura, 1=|OU|=|XA|. Se |OA| é o diâmetro de uma circunferência, [OTA] é um triângulo rectângulo em T e são semelhantes os triângulos [OTA], [OUT] e [TUA]. Concluirá facilmente que 1/|TU|=|TU|/|OX|, ou seja, |OX|=|TU|^2.
[A.A.M]
Clicando na ilustração, pode obter as construções de parábolas e, neste caso, acontecia que o Cinderella fornece as equações respectivas. Porque será?
]A.A.M]
Na figura, 1=|OU|=|XA|. Se |OA| é o diâmetro de uma circunferência, [OTA] é um triângulo rectângulo em T e são semelhantes os triângulos [OTA], [OUT] e [TUA]. Concluirá facilmente que 1/|TU|=|TU|/|OX|, ou seja, |OX|=|TU|^2.
[A.A.M]
Estes dois últimos artigos podem e devem servir para estudar o problema das operações sobre segmentos e nada melhor que ler a história da geometria das coordenadas. Há informação bem desenvolvida e muito instrutiva em dois livros já citados em anteriores artigos, a saber, - Descartes; A Geometria. Prometeu - e - História da Matemática. Universidade Aberta- que recomendamos vivamente.
Parábola Cartesiana
Na figura, |OU|=1, |OX|=|UA|, UA e XB paralelas. E, em consequência, |OU|/|OX|= |XB|/|UA|, ou |XB|=|OX|^2.
Tomou-se P, tal que |YP|=|OX| e |XP|=|XB|=|OX|^2.
Quando X se desloca sobre o eixo horizontal (dos xx), P descreve um lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que y=x^2.
Clicando sobre a ilustração, tem acesso à construção e animação que fizemos e pode seguir as variações nas figura e na álgebra respectiva. O Cinderella não fornece, neste caso, a equação do lugar geométrico dos pontos P.
E a nova construção dinâmica (ou ilustração) em ggb que permite ver que o P(OX,OY) aqui obtido com régua e compasso assume as posições sobre a parábola ou, de outro modo, que esta parábola é o lugar geométrico dos pontos P dependente das posições de X em y=0. Desloque o ponto X.
[A.A.M.]
2.2.05
Hipociclóide tricúspide
Os pés - D, E e F - das perpendiculares aos lados de um triângulo[ABC] tiradas por um ponto P da circunferência circunscrita são colineares. A recta que passa pelos pontos D, E e F toma o nome de recta de Simson. Fixado o triângulo e a sua circunferência circunscrita, há uma recta de Simson para cada ponto P da circunferência. Aqui se apresenta a envolvente dessas rectas de Simson. Para ver a nossa animação, basta clicar na seta na esquerda funda:
[A.A.F.]
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