13.2.05

(VII) - Circunferências

São dadas três circunferências iguais, tangentes duas a duas. Determinar os centros e os raios das duas circunferências que são tangentes, uma interiormente, outra exteriormente, às circunferências dadas.

(Proposta de Coronnet, Puig Adam e Aurélio Fernandes)




Num comentário que pode ler-se em anexo, a Mariana escreveu: Se resolvi bem, o centro de ambas as circunferências é a intersecção das medianas do triângulo equilátero cujos vértices são os centros das três circunferências tangentes duas a duas. O raio da circunferência interior é a distância do centro de gravidade do triângulo ao seu vértice menos o raio das cicunferências dadas. O raio da exterior é a soma da mesma distância com o raio das circunferências dadas. (Está bem?)

Interpretando o que a Mariana escreveu, construímos uma solução a que demos a forma de exercício interactivo (porque é assunto sobre o qual nos interessa muito recolher informações).

Experimente uma das versões seguintes:
 <   A primeira  > 
ou
  <   A segunda  > 

Uma delas dará boa conta do exercício.



O que sugere esta proposta?

Se as três circunferências iniciais não forem iguais? Em que condições elas são tangentes duas a duas? Como encontrar as tangentes às três? Se existirem, as circunferências tangentes interior e exterior são concêntricas?

E se tomarmos quatro (ou cinco, ou seis, ...) circunferências tangentes duas a duas (iguais ou diferentes) haverá circunferências tangentes interiormente e exteriormente a todas elas? Em que condições?
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