Henrique escreveu no seu comentário:
O centro da circunferência tangente a duas rectas paralelas, tem de estar sobre um recta equidistante das primeiras. Depois, é preciso que o raio seja igual a metade da distância entre as rectas, sendo essa também a distância do ponto P ao centro. Não é?
E aqui fica a construção que respeita o comentário.
Julgamos poder afirmar que só há circunferência nas condições descritas quando P está entre as duas rectas paralelas. Não é?
[A.A.F.]
Tomamos um ponto qualquer de uma das rectas, A sobre a, e por ele uma recta perpendicular a a. A distãncia entre as duas rectas a e b é |AB|. Pelo ponto médio de [AB],C, tomemos a recta paralela às duas a e b. Qualquer circunferência tangente a a e b terá o seu centro sobre essa paralela que passa por C, sendo o seu raio |AC|. Bastará, agora tomar uma circunferência de centro em P e raio |AC|. O centro da circunferência que passa por P e é tangente às rectas a e b. O raio é |AC|. Para ver a construção basta clicar sobre a ilustração. Na construção pode mover o ponto P.
7 comentários:
O centro da circunferência tangente a duas rectas paralelas, tem de estar sobre um recta equidistante das primeiras. Depois, é preciso que o raio seja igual a metade da distância entre as rectas, sendo essa também a distância do ponto P ao centro. Não é?
Para construir ou desenhar uma circunferência, que temos de saber? O centro e um ponto por onde ela passe (ou o raio que possa ser trnasportado com compasso). Como se mede a distância de um ponto a uma recta? Na perpendicular à recta tirada pelo ponto.
O lugar geométricos dos pontos equidistantes de duas rectas tem um nome: a bissectriz do ângulo das duas rectas. Como se desenha com régua e compasso?
Um dos processos pode ser esse: Tomado um ponto qualquer sobre a bissectriz, tiramos uma perpendicular a uma das rectas dadas e a circunferência pedida tem centro no ponto da bissectriz e passa pelo ponto de intersecção da recta com a sua perpendicular. Garantimos além do mais que a circunferência é tangente. Porquê?
Resolver problemas de construção com os intrumentos de desenho obriga-nos a saber o princípio e o fim mas principlamente a escolher e a dar um passo depois de outro (isso é raciocínio algorítmico) baseados em postulados, propriedades ou resultados já demonstrados (e isso é raciocínio dedutivo).
Dito isto,, olha outra vez para o teu raciocínio e vê se lhe encontras alguma falha.
Haverá rectas (em posição relativa especial) para as quais o teu raciocínio serve?
Desculpa lá. Li o teu comentário, Henrique, e não reparei que o problema de construção era para circunferência tangente a rectas paralelas.
Pronto. Agora pensa no problema mais geral. Se as posições relativas das rectas forem quaisquer?
Um tiro no pé - foi o que dei. Que dores!
Esta coisa dos comentários do blogger no meu browser não me mantém o texto do enunciado.
Desculpa. Manda-me a tua solução passo a passo como se a desenhasses com régua e compasso, caso não tenhas um programa de geometria dinâmica. Eu também posso pôr aqui o problema interactivo para resolveres como se esrtivesses a trabalhar ocm o Cinderella. Mas agora tenho de sair.
AM
Desculpa. Eu passei uns dias sem aqui vir (a semana foi dura) e agora já cá está a construção para o caso das duas rectas paralelas (com a ressalva de que o ponto P deve estar entre as duas rectas ou não será possível traçá-la.
Quanto ao caso das rectas concorrentes, tenho de pensar melhor.Como tu explicas, a circunferência tangente às duas rectas está sobre a bissectriz do ângulo (traça-se dividindo o ângulo ao meio: com centro no ponto de tangência traça-se um arco que intersecte as duas rectas em dois pontos A e B; com centro em A e B, traçam-se dois arcos de raio igual que se cruzam definindo um ponto pertencente a essa bissectriz. Com esse ponto e o ponto de intersecção das rectas traço a bissectriz do ângulo).
A pergunta que fazes sobre porque é que a circunferência é tangente, tem como resposta que ela passa pelo "ponto de tangência", definido da forma como o fazes.
Não sei é como encontrar a circunferência tangente que passe por um ponto que não pertença a nenhuma das rectas.
Esqueci-me de avisar que na construção feita podem deslocar os pontos e ver o que, de facto, acontece sempre que o ponto P sai da faixa entre as duas rectas.
Henrique
Este conjunto de desafios do Aurélio são bons para mobilizar alguns dos conhecimentos do 9º ano que ficam um pouco descozidos sem exercícios construtivos e sem raciocínios demonstrativos a eles associados.
Parece-me não aceitável o argumento: as circunferências são tangentes porque passam pelo ponto de tangência construído como foi feito. Que argumento pode ser usado para garantir que as circunferências são tangentes neste ou naquele ponto?
Ah! E para traçar a bissectriz sem ter acesso ao vértice do ângulo das duas rectas? O que é que se faz?
Eita karaiu dificil !!
Vcs tb naum ajudam kct !
Podia explicar um pokinho mais facil de entender......
Eu pelo menos to querendo aprender e naum sei quase nada disso.....
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