Para escrever sobre quadriláteros (completos)

De forma semelhante à abordagem dos triângulos, usamos a palavra quadrilátero (ou quadrângulo) consagrada para designar

1. o conjunto formado por quatro pontos {A,B,C,D}, dos quais não há 3 colineares, (vértices) e pelas 6 retas {AB,AC,AD,BC,BD,CD} definidas pelos pares de pontos existentes, a que chamamos lados. Dois lados consideram-se opostos quando se intersetam em pontos que não A, B, C, D, ou seja, em pontos que não são vértices, no caso, E,F,G. Esses 3 pontos tomam o nome de pontos diagonais
2. 
   o conjunto formado pelas quatro retas {a,b,c,d}, das quais não há 3 incidentes num ponto,(lados) e pelos 6 pontos {a.b,a.c,a.d,b.c,b.d,c.d} definidos pelos 6 pares de retas existentes a que chamamos vértices. Dois vértices consideram-se opostos quando definem uma reta que não é qualquer dos 4 lados a,b,c ou d, a saber, a.d e b.c, a.c e b.d, a.b e c.d. As retas definidas por vértices opostos chamam-se retas diagonais, no caso, e,f,g.
   

Para distinguir de outros conceitos associados à palavra quadrilátero, falamos de quadriláteros completos para evitar confusão. De um modo geral, em geometria projetiva só consideramos quadriláteros completos e é frequente falarmos de quadriláteros quando nos estamos a referir a quadriláteros completos.

Para escrever sobre triângulos

Escolhemos para base do estudo de geometria projetiva do plano, as noções primitivas de ponto, reta e incidência. O nosso plano foi definido como um conjunto de pontos {A,B,C,...} não vazio e uma família de subconjuntos {a,b,c, ..} não vazia a que chamámos retas. Considerámos a existência de uma reta a e um ponto A não incidente em a, e, assim, podemos sempre considerar o nosso mundo plano composto por todos os pontos que incidem nas retas definidas pelo ponto A e por cada ponto da reta a, bem como por todas as retas que possam ser definidas por quaisquer pares de pontos assim determinados.
E, a partir de agora, falaremos de triângulos (com recurso a palavra já consagrada pelo uso) como um conjunto de três pontos {A, B, C} não colineares (que não incidem todos numa só reta), a que chamamos vértices e das três retas {AB, BC, AC}, a que chamamos lados, determinadas pelos 3 pares de pontos existentes. Que é exata(dual)mente o mesmo que considerar o conjunto de 3 retas {a, b, c} (lados) não incidentes num mesmo ponto e dos três pontos {a.b, b.c, a.c} (vértices) de incidência dos 3 pares de retas existentes. Escrevemos AB para designar a única reta que passa por (comum a) A e B e a.b para designar o ponto único de (comum a) duas retas concorrentes (a.b=a∩b).

Exercício interativo: projetividade entre feixes

Usando perspetividades para determinar projetividades entre pontuais: permutações

A construção seguinte parte de uma pontual ABC. Toma-se um ponto Q, exterior a ABC, e, por ele, o feixe QA,QB cortado por uma reta arbitrária por C que corta o feixe QA,QB em R e S. Ficamos com os feixes (AQ,AS,AC),(BR,BQ,BC). O ponto P de incidência comum a AS e BR define um novo feixe (PQ,PR,PS). O ponto D, colinear com ABC fica determinado univocamente por construção.
Esta construção é muito interessante para ver que compostas de diferentes perspetividades têm o mesmo efeito e serve ainda para resolver vários problemas de projetividades que definem permutações dos pontos das pontuais ABCD, ABC, etc



Por exemplo:

1. o feixe RA,RB,RC corta ABC e APS e a perspetividade de centro R leva de A para A, B para P e C para S
   e o feixe QA,QB,QC corta APS e ABC e a perspetividade de centro Q leva de A para A, P para D e S para B,
   tendo a sua composta o efeito de levar de ABC para ADB.
   Podemos escrever
   ABC →_R APS →_Q ADB
2. O mesmo efeito obteríamos se, tomássemos os feixes SA,SB,SC e respetivas secções ABC e AQR para a perspetividade de centro S e o feixe PA,PQ, PR e respetivas secções AQR e ADB
   ABC →_S AQR →_P ADB
   
3. Para obter a permutação BAC de ABC, podemos tomar uma perspetividade de centro P, seguida de uma perspetividade de centro Q, abreviadamente
   ABC →_P SRC →_Q BAC

Pontual de 4 pontos: permutações por projetividade

Quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados em pares por projetividade

Nas construções que se seguem, tomam-se quatro pontos colineares (quaisquer) A,B, C, D. Vamos provar que existe uma projetividade tal que A→B e B→A, C→D e D→C.

Sendo R um ponto não colinear com A,B,C,D, uma reta arbitrária incidindo em D corta o feixe RA, RB, RC na pontual T,Q, W. Sendo Z o ponto de incidência comum às retas AQ e RC, podemos concluir que
ABCD → BADC
Assim:

pela perspetividade de centro Q, (feixe verde, cortado por RZWC e ABCD):   ABCD →ZRCW,
seguida da perspetividade de centro A, (feixe azul cortado por RZWC e TQWD):    ZRCW → QTDW
e da perspetividade de centro R, (feixe castanho cortado por TQWD e ABCD):    QTDW→BADC.

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Exercicios propostos por Coxeter:

1. Dados 3 pontos colineares A, B, C, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito A→B, B→A e C→C
2. Dadas três retas concorrentes a, b, c, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito abc →bac
3. Dados três pontos colineares A,B,C e três retas concorrentes a,b,c definir cinco correspondências elementares (biunívocas) cuja composta tenha o efeito
   ABC→abc.
4. Dados quatro pontos colineares A,B,C,D, determinar três perspetividades cuja composta tenha o efeito
   ABCD →DCBA