16.8.10

Triângulo ABC, dados Â,|BC| e perímetro

Determinar os vértices B e C e lados b e c do triângulo ABC, do qual se conhecem A e a recta AB e que é tal que BÂC=35º, |BC|=a=4 e a+b+c = 16.



13.8.10

Triângulo dados o perímetro e dois ângulos

A partir do ponto A e da recta AB, determine os restantes elementos do triângulo ABC de perímetro 14, cujos ângulos A e C medem respectivamente 40 e 30 graus.





Chamamos a atenção para o uso de ferramentas que habitualmente não usávamos: circunferência de centro e raio dados e ângulo de amplitude fixa a partir de dois pontos. Pensamos ter algum interesse falar do seu uso para o ensino básico.

10.8.10

Pontos de tangência do incírculo dividem os lados do triângulo...

Chamamos a ao comprimento do lado BC oposto a A, b=AC e c=AB. Na nossa construção, designámos por J, K e L pontos de tangência do incírculo.



O perímetro do triângulo é a+b+c = BJ+JC+CK+KA+AL+LB. Como BJ=BL, JC=CK, KA=AL, 2(AK+BL+CJ)=a+b+c, ou seja, 2AK+2a =a+b+c, AK+a é igual a metade do perímetro do triângulo. AK é o semiperímetro subtraído de a. Do mesmo modo, para AL. E obviamente que CK=CJ é igual ao semiperímetro do triângulo subtraído de c ou BL=BJ é igual ao semiperímetro do triângulo subtraído de b.

Alguns problemas podem ser resolvidos facilmente se tivermos presente este resultado.

9.8.10

Perímetro do triângulo e pontos de tangência de uma ex-inscrita

Dizemos que uma recta é tangente a uma circunferência quando só têm um ponto comum. Chamamos ponto de tangência ao único ponto comum. Por exemplo a recta AC é tangente ao círculo de centro em Ia, sendo E o ponto de tangência. Prova-se que a tangente em E é perpendicular ao raio EIa (?). A distância de um ponto a uma recta é medida na perpendicular à recta tirada pelo ponto. A distância do centro de uma circunferência a qualquer uma das suas tangentes é, por isso, igual ao seu raio. Se tirarmos por um ponto A tangentes a uma circunferência, no caso da nossa construção, de centro em Ia, é certo que este ponto está a igual distância de ambas as tangentes, AB e AC, sendo um ponto da bissectriz do ângulo CÂB. E, assim, por ser IaÂB = IaÂC (?) e IaÊA= IaDA = 1 recto, os triângulos IaAD e IaAE são iguais já que IaA é lado comum. Podemos concluir que a AD=AE.
Se tirarmos por A tangentes a uma circunferência, a distância de A aos pontos de tangência é a mesma.




Este resultado é muito importante e é aplicado na resolução de muitos problemas. Fornece-nos as condições a que obedecem polígonos circunscritíveis a uma circunferência (ou que admitem uma circunferência inscrita) tangente a cada um dos seus lados.
Sabemos que um triángulo admite sempre uma circunferência inscrita nele que é o mesmo que dizer que há um ponto à mesma distância do seus três lados; mais geralmente, equidistante de três rectas concorrentes. A nossa construção sugere que há vários pontos à mesma distância de 3 rectas (só um - o incerto - equidistante dos 3 lados de um triângulo).Quantos? A estes pontos equidistantes das rectas que contêm os lados de um triângulos chamamos incentro - quando é intersecção das três bissectrizes internas, ou exincentros quando são pontos de intersecção de duas bissectrizes externas e uma bissectriz interna ficando fora do triângulo. Ia é um dos exincentros do triângulo ABC, este sobre a bissectriz do ângulo Â.

E o exercício que propomos hoje é demonstrar que AD é igual a metade do perímetro do triângulo ABC. Pode ser?

5.8.10

Triângulos e quadriláteros, mesmo quando não parece

Um mesmo resultado permite resolver muitos problemas aparentemente muito diferentes. O resultado que serve para determinar um triângulo a partir de 2 lados e da mediana, apresentado recentemente, serve também para determinar dois pontos cada um em cada uma de duas rectas concorrentes dadas e de tal modo que um ponto A, dado seja deles equidistante e colinear.



4.8.10

Triângulo a partir de um vértice A, |AB|,|AC| e |AHa

Um problema de construção de enunciado em tudo semelhante ao do último exercício interactivo proposto usando comprimentos de lados e da mediana.
Aqui trata-se de determinar a partir de A e da recta AB, os pontos B e C e os lados AB, AC e BC do triângulo de que se conhecem os comprimentos dos lados c=AB=5 e b=AC=4 e da altura ha =AHa=3.






Este exercício pode ser dado durante o 9º ano, pedindo a justificação para a construção de tangentes que aprendam em educação visual ou após o ensino das circunferências, cordas, tangentes, etc. Está de certo modo relacionado com a demonstração pedida para o facto da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo rectângulo o dividir em dois isósceles equivalentes.

3.8.10

Uma mediana no triângulo rectângulo

Tome-se um triângulo rectângulo em A e a mediana de A para o ponto médio de BC. A mediana divide o triângulo rectângulo (como qualquer outra em qualquer triângulo) em dois triângulos equivalentes (Porquê?). Mas neste caso, a mediana divide em dois triângulos isósceles. O exercício para os 7º e 8º anos de escolaridade é demonstrar isso mesmo. Com o que se aprende no 9º ano, já passa a ser outra coisa.



2.8.10

Demonstração simples

A partir do triângulo equilátero ABC, construímos o triângulos A'B'C' para fora (e o triângulo A''B''C'' para dentro) nas condições da figura em que AA'=BB'=CC'.
Pedimos que se demonstre que A'B'C' é equilátero.




É uma demonstração simples e boa para os alunos do ensino básico aprenderem a separar hipótese de tese e a escrever os passos sucessivos da demonstração que não precisa de mais do que critérios de congruência de triângulos (estudados no 7º ano)

1.8.10

Determinar um triângulo conhecidos A e comprimentos b, c, ma

Voltamos, durante algum tempo, a exercícios básicos (pelo menos na aparência) e que podem ser apresentados a alunos do ensino básico.

O primeiro exercício que apresentamos é interactivo e pede que determinemos, a partir de A e da recta r=AB, os restantes elementos de um triângulo ABC de que sabemos os comprimentos dos lados c=AB=5, b=AC=4 e da mediana ma=AM=3.




O Arsélio não promete dar a solução antes de Setembro. Talvez possa dar sugestões. Ou responder a dúvidas que lhe ponham.

31.7.10

Determinar os focos de uma elipse definida por 5 dos seus pontos

Uma elipse está definida por cinco pontos: A, B, C, D, E. Determinar os focos F1 e F2



António Aurélio promete a resolução para Setembro.

29.7.10

Cónica de Evans

Dado um triângulo ABC, determinemos:
- os pontos de napoleão Np1 e Np2
- os pontos de Fermat Fm1 e Fm2
- os pontos isodinâmicos W1 e W2

Num triângulo nem sempre existem todos os pontos FF, Np, WW; mas quando existem, estão os seis sobre a mesma cónica - cónica de Evans.

http://geometrias.blogspot.com/2008/09/pontos-isog-pontos-isodin.html (9/9/08)

http://geometrias.blogspot.com/2008/09/pontos-isodin-e-de-napole.html (26/9/08)

http://geometrias.blogspot.com/2008/07/napole-e-fermat.html (02/07/2008)

http://geometrias.blogspot.com/2009/01/pontos-de-fermat-pontos-isodinamicos-e.html(29/01/2009)


Colocamos dois casos, um em que a cónica de Evans é hipérbole e outro em que é elipse, por ser difícil aparecer a elipse quando deslocamos um dos vértices do triângulo. Nem sempre são visíveis no rectângulo de visualização todos os 6 pontos.






Cinco destes pontos seis pontos definem sempre uma cónica. Evans demonstrou que esta cónica contém o sexto ponto.

22.7.10

Hipérboles hipercores

Sugestão de beleza da entrada anterior. Só pela beleza mesmo.

Hipérbole de Kiepert

Tome-se um triângulo ABC, o seu circuncentro O e o seu ortocentro H.Estes cinco pontos definem uma cónica, no caso, a hipérbole de Kiepert, segundo Paul Yiu.




Para que triângulos é que estes cinco pontos definem duas rectas?

21.7.10

Circunferências e Tangentes

Dadas duas circunferências quaisquer de centros A e B. A recta AB intersecta as circunferência em quatro pontos. Tomemos os dois A' e B', mais distanciados. Tirem-se por A' tangentes à circunferência de centro B e por B' tangentes à circunferência de centro A.
As circunferências inscritas nos triângulos curvilíneos são congruentes.





(Paul Yiu, claro!)

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção