Elipse: Polo (interior) e polar

Construção da polar de um ponto P interior.

Podemos utilizar o método do quadrilátero circunscrito.
Por P traçamos duas cordas [AC] e [BD]. As tangentes à elipse nos extremos das cordas formam um quadrilátero completo. Os vértices M e N determinados por lados opostos do quadrilátero definem a polar de P.





Repare-se que BC e AD se intersectam sobre a polar de P e, obviamente, o mesmo acontecerá com a intersecção de AB com CD.

Podíamos ter optado pelo quadrilátero inscrito determinado pelos extremos das cordas, o que nos poupa da determinação de tangentes à elipse.

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Esta construção serve tambem para determinar o polo de uma recta exterior relativamente a uma elipse.

Elipse: Polo e polar

Construção da polar de um ponto P exterior

- Método das tangentes: traçamos por P as tangentes à cónica; os pontos de tangencia definem a polar.




- Método do quadrilátero: por P traçamos duas secantes; as intersecções com a cónica determinam um quadrilátero; os dois pontos de intersecção dos lados opostos definem a polar de P.

Cónicas: pólo e polar

Há cerca de um ano atrás, decidimos dar uma determinada orientação a este blogue. De facto, estava a iniciar-se uma "febre" de resolução de problemas de geometria no "Geometriagon" (http://www.polarprof.org/geometriagon/default.asp). Atendendo a que muitos dos problemas exigiam o conhecimento de conceitos geométricos (e propriedades) muito afastados dos actuais programas escolares, considerámos que seria desejável fornecer instrumentos de trabalho para evitar frustrações...

Recentemente têm aparecido no "Geometriagon" uma série de problemas referentes a cónicas que exigem o conhecimento de questões tais como razões harmónicas, polos e polares, elementos conjugados, projectividades, involuções. Daí estarmos a desenvolver tais assuntos na medida em que vão ser necessários para resolver os problemas propostos.
Voltemos, então, às cónicas como foi prometido.

Polo e polar relativamente à elipse

Tomemos um ponto P e uma elipse. Façamos passar por P uma secante s à elipse; sejam A e B os pontos de intersecção. Determinemos o conjugado harmónico P' de P em relação a A e B. Para toda a secante por P à elipse é possível determinar o conjugado harmónico P' de P em relação aos pontos de intersecção.

Demonstra-se que o lugar geométrico de tais conjugados harmónicos é uma recta p que se diz polar de P em relação à elipse; P é o polo de p.
Se P é ponto da cónica, a sua polar é a tangente em P.