A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

21.5.07

Conjugados e separação harmónica

Os pontos conjugados de uma secante p a uma elipse são conjugados harmónicos relativamente aos pontos R e S de intersecção de p com a elipse: (P’RMS) = -1.




19.5.07

Elementos conjugados

Consideremos um ponto P e seja p a sua polar em relação à elipse. A polar p’ de um ponto P’ que pertence a p é uma recta que contem P. Os pontos P e P’ dizem-se conjugados; as rectas p e p’ são conjugadas. Na construção a seguir pode deslocar P.





Dois pontos são conjugados se cada um pertence à polar do outro.
Duas rectas são conjugadas se cada uma passa pelo pólo da outra.
No triângulo [PP’M] cada vértice é o pólo do lado oposto; diz-se, por isso, autopolar.

18.5.07

Elipse: Da polar ao pólo

Dada uma recta p e uma elipse, determinar um ponto P que seja o pólo de p relativamente à elipse




14.5.07

Da polar ao polo

Apresentámos a determinação da polar de um ponto dado relativamente a uma cónica dada. Agora, aqui deixamos um exercício interactivo de determinação do pólo de uma recta dada relativamente a uma dada cónica.

Dada uma recta p e uma cónica c1, determinar um ponto P que seja o pólo de p relativamente à cónica c1







Nota: A construção deste exercício foi muito elucidativa das dificulades em trabalhar com reconhecimento de pontos obtidos por construções que recorram à incidência de um ponto sobre uma cónica qualquer. Embora ReC reconheça a incidência e faça deslizar um ponto sobre uma cónica não é garantido utilizar esse ponto ou as suas coordenadas aproximadas em ulteriores determinações delas dependentes.

2.5.07

Elipse: Polo (interior) e polar

Construção da polar de um ponto P interior.

Podemos utilizar o método do quadrilátero circunscrito.
Por P traçamos duas cordas [AC] e [BD]. As tangentes à elipse nos extremos das cordas formam um quadrilátero completo. Os vértices M e N determinados por lados opostos do quadrilátero definem a polar de P.





Repare-se que BC e AD se intersectam sobre a polar de P e, obviamente, o mesmo acontecerá com a intersecção de AB com CD.

Podíamos ter optado pelo quadrilátero inscrito determinado pelos extremos das cordas, o que nos poupa da determinação de tangentes à elipse.



Esta construção serve tambem para determinar o polo de uma recta exterior relativamente a uma elipse.

30.4.07

Elipse: Polo e polar

Construção da polar de um ponto P exterior

- Método das tangentes: traçamos por P as tangentes à cónica; os pontos de tangencia definem a polar.




- Método do quadrilátero: por P traçamos duas secantes; as intersecções com a cónica determinam um quadrilátero; os dois pontos de intersecção dos lados opostos definem a polar de P.


Cónicas: pólo e polar

Há cerca de um ano atrás, decidimos dar uma determinada orientação a este blogue. De facto, estava a iniciar-se uma "febre" de resolução de problemas de geometria no "Geometriagon" (http://www.polarprof.org/geometriagon/default.asp). Atendendo a que muitos dos problemas exigiam o conhecimento de conceitos geométricos (e propriedades) muito afastados dos actuais programas escolares, considerámos que seria desejável fornecer instrumentos de trabalho para evitar frustrações...

Recentemente têm aparecido no "Geometriagon" uma série de problemas referentes a cónicas que exigem o conhecimento de questões tais como razões harmónicas, polos e polares, elementos conjugados, projectividades, involuções. Daí estarmos a desenvolver tais assuntos na medida em que vão ser necessários para resolver os problemas propostos.
Voltemos, então, às cónicas como foi prometido.

Polo e polar relativamente à elipse

Tomemos um ponto P e uma elipse. Façamos passar por P uma secante s à elipse; sejam A e B os pontos de intersecção. Determinemos o conjugado harmónico P' de P em relação a A e B. Para toda a secante por P à elipse é possível determinar o conjugado harmónico P' de P em relação aos pontos de intersecção.

Demonstra-se que o lugar geométrico de tais conjugados harmónicos é uma recta p que se diz polar de P em relação à elipse; P é o polo de p.
Se P é ponto da cónica, a sua polar é a tangente em P.


27.4.07

Círculo polar

Publicamos um exemplo de exercício interactivo em que se aplicam definições de polar de um ponto (relativamente a uma circunferência) como uma actividade de descontração no meio deum grande conjutno de resultados que nos vão levar de volta às cónicas.
Aqui fica: Dados dois pontos P e A, pretende-se determinar uma circunferência que passe por P e em relação à qual uma recta a dada é a polar de A.




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23.4.07

Polaridade

Polar de um ponto em relação a duas rectas

Tomemos um ponto P e duas rectas r e r' concorrentes em O. Façamos passar por P uma recta s que intersecta r e r' em A e B; determinemos o conjugado harmónico, P', de P em relação a A e a B: (PP'AB) = -1.
Qual será o lugar geométrico dos pontos P' conjugados harmónicos de P em relação aos pontos A e B quando s varia?
Demonstra-se que é uma recta d´definida por P' e O. Diz-se que d' é a polar do ponto P em relação às rectas r e r'.





Se a polar de P passa por P', a polar de P' passa por P.

Considerámos duas rectas concorrentes. Se as rectas são paralelas mantém-se o que foi dito.

Polar de um ponto em relação a uma circunferência

Tomemos um ponto P e uma circunferência (c). Façamos passar por P uma secante s à circunferência; sejam A e B os pontos de intersecção. Determinemos o conjugado harmónico P' de P em relação a A e B. Para toda a secante por P à circunferência é possível determinar o conjugado harmónico P' de P em relação aos pontos de intersecção. Demonstra-se que o lugar geométrico de tais conjugados harmónicos é uma recta p que se diz polar de P em relação à circunferência; P é o polo de p.





Para determinar a polar de P, basta fazer passar por P duas secantes e determinar os dois conjugados harmónicos de P. Claro que se traçarmos as tangentes ªa circunferência por P, a polar é definida pelos pontos de tangência.

Considerámos o ponto P exterior à circunferência. Se P for interior, a polar será uma recta exterior.

Se P é ponto da circunferência, a sua polar é a tangente à circunferência em





Um exemplo notável de polo e polar: já foi referido que, na elipse e na hipérbole, cada directriz é a polar do foco correspondente em relação ao círculo principal.

Pontos conjugados em relação a uma circunferência: A e B são conjugados se a polar de cada um passa pelo outro.
Rectas conjugadas em relação a uma circunferência: a e b são conjugadas se o polo de cada uma pertence à outra.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção