A razão positiva

Se a razão dupla anarmónica (ABCD) = k for positiva, C e D não separam A e B, que é o mesmo que dizer que C e D ou estão ambos entre A e B ou ambos fora do segmento [AB].
Para determinar um quaterno anarmónico de razão dupla positiva, por exemplo, (ABCD)=1/4, basta fazer uma construção semelhante à que fizemos no artigo anterior, mas em que tomamos sobre a recta tirada por A dois segmentos 4 para 1 num dos semiplanos definidos pela recta dos pontos AB.
Assim:



Na nossa construção pode fazer variar a recta m e os pontos A, B e C.

Razão anarmónica

Até agora temos vindo a considerar casos de divisão e separação harmónica em que a razão dupla de quatro pontos colineares (ABCD) =(|AC|/ |BC|) / (|AD|/ |BD|)= 1, (ou -1, considerando os vectores).

Podemos considerar casos de divisão e separação não harmónica em que a razão dupla (ABCD)=k diferente de -1. Dizemos que tal razão é anarmónica. Interessante é saber determinar o quarto anarmónico, isto é, determinar sobre uma recta r, o ponto D assim relacionado com A, B e C: |AC|/|BC| = k. (|AD|/|BD|). Para o exemplo de construção que se segue, consideramos k=2 (k=-2, se considerássemos os vectores).




Por A fazemos passar uma recta m qualquer em que marcamos dois segmentos na razão 2 para 1. Com o extremo do segmento 2 (de m) e o ponto C definimos uma recta n; n intersecta a recta p paralela a m tirada por B. Unindo esta intersecção (de m com p) ao extremo do segmento 1 de m, definimos uma recta que intersecta r no ponto D.

Nota: No caso da nossa construção, não haverá ponto próprio D, correspondendo a um ponto C que seja tal que |AC|=2.|BC|.

Feixes harmónicos

Se tivermos quatro pontos - A, B, C e D - colineares e tais que (ABCD)=-1, dizemos que um feixe de rectas paralelas ou concorrentes que passem por eles é um feixe harmónico e convencionamos escrever O(ABCD)= (abcd)=-1.



Um exemplo simples e interessante de feixe harmónico é constituído por dois lados de um triângulo e as bissectrizes do ângulo formado por esses dois lados.

Harmonia que se projecta

Se na recta r, C e D separam harmonicamente A e B, (ABCD)=-1, os seus transformados, por projecção de centro O sobre s, são tais que C' e D' separam harmonicamente A' e B'.



A razão harmónica é invariante por projecção (seja ela paralela, seja central). No caso, pode verificar que a razão harmónica se mantém invariante, quando desloca O (muda o centro da projecção), quando desloca S (faz variar a recta s), e ainda quando deslocar A, B ou C sobre a recta r.

Harmonia que se projecta

Se na recta r, C e D separam harmonicamente os pontos A e B, as imagens por projecção paralela sobre s, C' e D' separam harmonicamente os pontos A' e B'.




Na construção, pode deslocar os pontos A,B e C sobre r, bem como P fazendo variar s.