15.3.05

Post-it

Há vários problemas de construção de triângulos à espera de respostas. Podem ser vistos no artigo
Construção de triângulos

À volta desse artigo, há muitos problemas de construção com triângulos que estão resolvidos e podem ser vistos de novo. Para todas as idades, a partir dos 11 ou 12 anos ou do 7º ano de escolaridade...

14.3.05

Andar às voltas





Ando sempre às voltas com coisas por resolver - a maior parte por dificuldades matemáticas, claro! e outras porque não sei resolver com o Cinderella (mesmo depois de já ter feito com outro programa como o GSP). Há sempre uma "roulette" e uma reversão (cusp, cúspide, cuspideira que (não) se arrasta) a perseguir-me. As tentativas de estudo para isto ou para aquilo acabam sempre noutras coisas (umas interessantes, outras nem por isso). Ontem acabei numa cardióide (?) como envolvente de circunferências . Gosto da imagem. E ainda não havia notícia dessa possiblidade do Cinderella de apresentar lugares geométricos como envolventes de curvas.

Para este cardióide, tome-se uma circunferência de centro A e a passar por B e um ponto C livre de se mover sobre ela. A circunferências de centro C que passam por B, saão tangentes interiores a uma cardióide com ponto de reversão em B.

Para quem se interessar por fracassos, aqui deixo o outro resultado do desespero .

Há um artigo anterior - Cardióide - que trata disso e as páginas da Geometria de E. Veloso, nele referidas, chegam para quem queira começar a estudar o assunto

13.3.05

3,14 - Dia do  π   - uma "rectificação"

Para comemorar o dia do π nada melhor do que tentar arranjar um segmento π. Não acham?




Com régua e compasso, é impossível determinar um segmento de recta de comprimento exactamente igual a uma dada circunferência*. Porquê?
Mas pode fazer-se uma construção de rectificação aproximada de uma circunferência qualquer. Apresentamos uma proposta de Benjamim Carvalho**, professor arquitecto brasileiro. Assim:



Traçados dois diâmetros perpendiculares AC e BD da circunferência de centro em O, tomemos a intersecção - P - da circunferência de centro em D e raio |DO| com a circunferência dada inicialmente.
A recta OP intersecta em P' a paralela a DB tirada por C. Sobre esta determinemos B' tal que |P'B'|=3|OP|.
|AB'| tem comprimento igual a metade do perímetro da circunferência dada, isto é |AB'|e π|OA|são aproximadamente iguais. (Se |AO|=1, |AB'|=π)



Se clicar sobre a ilustração tem acesso a uma construção dinâmica em que pode movimentar pontos, de modo a modificar os raios e confirmar que a construção aguenta aproximações sempre razoáveis.


Porque é que é razoável esta construção? Isso é o que andei a tentar perceber.


Em meu entender, a Mariana Sacchetti respondeu às minhas dúvidas. A razoabilidade do resultado da construção, cuja aproximação podia ser verificada por cálculos, não era a minha dúvida essencial e existencial. Antes era, porquê aquela construção? Que podia ter levado um geómetra a dar aqueles passos? Porquê assim?

Com autorização da Mariana, aqui ficam as suas    deambulações em volta do π    (em .pdf). Vale a pena duvidar e deambular com ela. Muito obrigado, Mariana. E podemos continuar a discutir. Há quem já me tenha perguntado: Mas afinal como é que ela respondeu a essas tuas dúvidas? E eu respondo quando me perguntam.

[O melhor do mundo são as perguntas, as cerejas, ... as crianças que entram na escola de dedo na boca para sairem adolescentes de dedo no ar].

Não esquecemos o apoio do Eduardo Veloso que se tirou dos seus afazeres e nos apoiou com a construção em GSP da ciclóide que não conseguíamos dar à Mariana. Obrigado, Veloso. Se ele autorizar, podemos publicá-la um dia destes ou estabelecer uma ligação para algum lugar onde ela esteja. Os problemas levantados por este artigo propiciaram muitas discussões também sobre as diferenças, vantagens e desvantagens dos Geometer's SketchPad e Cinderella, como programas para a geometria dinâmica.




* Sobre números contrutíveis, recomendo a leitura de Franco de Oliveira, Transformações Geométricas.Universidade Aberta.Lisboa: 1997 - página 122 e seguintes.
**[Carvalho, Benjamim. Desenho Geométrico. Ao Livro Técnico, Ltda, R.J.. 1959], emprestado por David Torres - professor, pintor, médico, reformado e tudo.

6.3.05

Teorema de Brianchon

Para passar do teorema de Pascal para o seu dual - o teorema de Brianchon, basta permutar as palavras recta e ponto.

No teorema de Pascal, temos pontos sobre uma cónica e referimo-nos aos lados do hexágono inscrito. No teorema de Brianchon, teremos rectas tangentes a uma cónica e podemos referir-nos então a um hexágono circunscrito a uma cónica. No teorema de Pascal, pares de lados opostos do hexágono intersectam-se em três pontos que estão sobre uma mesma recta. No teorema de Brianchon, pares de pontos ou vértices opostos unem-se em rectas que passam por um mesmo ponto.

Brianchon publicou o seu teorema em 1810, tendo provado também que os lados do hexágono que circunscreve a cónica podem tomar-se por qualquer ordem.

Teorema de Brianchon - Num hexágono circunscrito a uma cónica, as rectas unindo pares de vértices opostos passam por um ponto.

Como construir um hexágono circunscritível a uma cónica (que não seja a circunferência)?
Como construir uma cónica tangente a seis rectas dadas?

Teorema de Pascal

N'O Dicionário de Geometria Curiosa, publicado pela Gradiva (nº 23 da Colecção O Prazer da Matemática), David Wells escreve:
Blaise Pascal descobriu o seu famoso teorema com a idade de 16 anos, em 1640, e publicou-o num opúsculo intitulado Essai pour les coniques. O teorema afirma que se partirmos de um hexágono inscrito numa cónica, então os três pontos nos quais os pares de lados opostos se encontram ficam alinhados. Se os pontos do hexágono forem designados por ABCDEF, então AB e DE serão lados opostos intersectando-se num ponto X e assim por diante. A recta XYZ é a recta de Pascal.
Para um hexágono inscrito em ziguezague, os pontos de encontro ficam dentro da cónica e a figura parece-se muito com a figura do Teorema de Papo. Na realidade, o Teorema de Papo é um caso especial do teorema de Pascal em que a cónica degenera num par de linhas rectas. Se o hexágono for desenhado de uma maneira mais normal, então os três pontos colineares ficarão fora da cónica.


Por definição, o Cinderella determina uma cónica qualquer dados cinco dos seus pontos e, também automaticamente, determina a circunferência que passa por três dos seus pontos. A circunferência fica também determinada dado o centro e um dos seus pontos ou dado o centro e o raio.
O que até agora não consegui resolver foi tomar um sexto ponto de uma cónica definida por cinco pontos. É claro que podem determinar-se seis pontos sobre uma circunferência dada.

Apresenta-se a construção relativa ao Teorema de Pascal para seis pontos de uma circunfer�ncia . Depois de aceder a essa antiga construção pode mover os pontos sobre a circunfer�ncia para verificar que os 3 pontos de intersecção dos lados opostos se mantêm sobre a mesma recta, sendo natural esperar que os pontos de intersecção saiam rapidamente dos limites da folha.

Recentemente, para uma sessão de demonstração do Cinderella, os professores da Escola José Estêvão que a promoveram propunham alguns problemas para serem resolvidos. Entre eles, apareciam as construções relativas ao Teorema de Pascal e ao seu dual - Teorema de Brianchon. E voltei a enfrentar a tal dificuldade insuperável do sexto ponto sobre a cónica definida por cinco pontos. Então propus uma verificação interessante para mim. Tomava cinco pontos sobre uma cónica e um sexto ponto. Fazia toda a construção e unia por uma recta dois dos pontos de intersecção dos lados opostos do hexágono. Podia ver-se que sempre que aproximava o meu sexto ponto da cónica, o terceiro ponto das intersecções de lados opostos se aproximava da tal recta previamente traçada pelos outros dois. E aproveitava para falar da minha limitação sempre na esperança de que alguém avançasse com algum palpite novo.

Nada mais aconteceu a este respeito. E decido-me, agora, a publicar uma construção referida a o que poderia chamar um recíproco do Teorema de Pascal.





Tomo 3 pontos G, H e I sobre uma recta e, a partir deles e de 3 pares de rectas neles concorrentes, reconstruo um sextuplo de pontos tal que a cónica definida por cinco deles passa pelo outro.
Tem interesse, penso eu, já que permite, manipulando os pontos da figura, ver as diversas cónicas e em que condições a recta de Pascal atravessa (ou não) a cónica em cada caso. Também se pode procurar a posição em que a cónica degenera e se fica com a construção relativa ao teorema de Papus.

5.3.05

O que tem acontecido?

A um visitante distraído pode parecer que o blogeometria tem estado parado e que o último artigo é do dia 22 do mês passado - Um erro corrigido. As aparências enganam. Nesse mês de Fevereiro, desde o dia 11 com Um problema de Euclides, e nesta primeira semana de Março, ganhámos várias tentativas de construção e a várias mãos. É preciso ir seguindo as diversas resoluções dos problemas que tinham sido propostas - sobre os artigos respectivos. E convém dizer que conseguimos aprender alguma geometria e formar opinião sobre questões de ensino da geometria, resolver alguns problemas e corrigir algumas das nossas dificuldades com o Cinderella e a publicação em .html.


Estamos convencidos que a aprendizagem da geometria está muito prejudicada com a falta de prática em construções geométricas de régua e compasso. E começamos a ficar convencidos que essa falha tem também consequências dramáticas ao nível do desenvolvimento dos raciocínios hipotético-dedutivos em geral. Resolver problemas construtivos era (em tempos e será ainda hoje) provavelmente a melhor fonte de motivação: desenhar fazendo tentativas, decompor em passos, criar nexos lógicos, etc. A geometria dinâmica - com recurso a computadores e programas como o Cinderella, o SketchPad e o Cabri ou fazendo experiências várias com diversos materiais manipulativos - permite retomar uma tradição de aprendizagem de construções e, mais que isso, permite fazer experiências para conjecturar que construção, quais os seus passos essenciais,... enfim, conjecturar um resultado e fazer uma demonstração. Por exemplo, é formativo verificar a resolução do exercício (VI) - Pontos, rectas e circunferências seguindo a proposta de roteiro feita por mim e mais formativo será provavelmente ver como é que manipulando os dados no GSP (se bem me lembro!), escolhi aquela construção como boa, respondendo a um desafio de Aurélio Fernandes.


Para ficarmos mesmo bem, só nos falta receber mais notícias sobre o que se vê e como se vê o que damos a ver. Mas isso não depende de nós.

22.2.05

Um erro corrigido

Nestes últimos dias, gastei muito do meu tempo a tentar melhorar a visualização para os exercícios interactivos. E tantas vezes repeti alguns que descobri um erro no exercício de transporte de comprimentos à Euclides . Ninguém deu pelo erro, mas ele lá esteve muito tempo - garanto eu. Peço a quem tenha paciência que verifique não só o exercício de transporte mas também o desempenho da coisa no seu computador. Tenho duas versões em dois servidores para ver qual delas é melhor. Hoje fui a uma reunião ao Departamento de Matemática e estive a verificar qual versão se vê melhor no computador Virgínial. Isto é complicado. Na Escola José Estêvão, em dois computadores vizinhos e ambos com sistemas win xp vêem-se coisas diferentes.

Para seguir o exercício, basta ir clicando na ferramenta - balão interrogativo - da segunda linha e ir lendo o texto que vai aparecendo na janela em primeira linha que acompanha a evolução da construção em terceira linha.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção