(VII) - Circunferências

São dadas três circunferências iguais, tangentes duas a duas. Determinar os centros e os raios das duas circunferências que são tangentes, uma interiormente, outra exteriormente, às circunferências dadas.

(Proposta de Coronnet, Puig Adam e Aurélio Fernandes)

Num comentário que pode ler-se em anexo, a Mariana escreveu: Se resolvi bem, o centro de ambas as circunferências é a intersecção das medianas do triângulo equilátero cujos vértices são os centros das três circunferências tangentes duas a duas. O raio da circunferência interior é a distância do centro de gravidade do triângulo ao seu vértice menos o raio das cicunferências dadas. O raio da exterior é a soma da mesma distância com o raio das circunferências dadas. (Está bem?)

Interpretando o que a Mariana escreveu, construímos uma solução a que demos a forma de exercício interactivo (porque é assunto sobre o qual nos interessa muito recolher informações).

Experimente uma das versões seguintes:
 <   A primeira  > 
ou
  <   A segunda  > 

Uma delas dará boa conta do exercício.

O que sugere esta proposta?

Se as três circunferências iniciais não forem iguais? Em que condições elas são tangentes duas a duas? Como encontrar as tangentes às três? Se existirem, as circunferências tangentes interior e exterior são concêntricas?

E se tomarmos quatro (ou cinco, ou seis, ...) circunferências tangentes duas a duas (iguais ou diferentes) haverá circunferências tangentes interiormente e exteriormente a todas elas? Em que condições?

(VI) - Pontos, rectas e circunferências

São dados uma recta, um ponto A sobre a recta e uma circunferência de centro B. Traçar a circunferência tangente à recta em A e tangente à circunferência de centro B.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)

Vamos começar a experimentar apresentar, por norma, propostas de exercícios interactivos em resposta aos desafios. Pode tentar resolver usando as ferramentas que se mostram disponíveis e, caso precise de ajude para dar um primeiro ou segundo passo, clicar no balão interrogativo e aceitar o passo (ou recusá-lo, há um rectângulo com uma seta para a esquerda para isso mesmo) para prosseguir até ao final.
Agradecemos a Ulli Kortemkamp, um dos autores do Cinderella, o apoio que nos tem dado e que resolve parte dos nossos problemas-Java entre plataformas, incluíndo a questão dos acentos do português.

Feita esta observação (para nós necessária), experimente o     exercício que pretende responder ao problema de construção     posto pelo enunciado que encima este artigo.
Pedimos desculpa pelas gralhas nos comentários (da consola do exercício) e mesmo por alguma falta de clareza que deles transpira. Desculpado isto que há-de vir a ser corrigido, para além de se divertirem a resolver o exercício, digam como é que vêem o desenrolar da coisa em cada computador. Será uma grande ajuda.

(V) - Raios de Circunferências

São dadas duas circunferências: uma de centro A e raio s, outra de centro B e raio t.
Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas circunferências dadas,

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)

Pois! Sofia Isabel Fonseca Miranda escolheu este problema e apresentou uma resolução que aqui se publica.



Para ver a construção dinâmica de Sofia Isabel, basta clicar sobre a ilustração.

(IV) - Rectas e circunferências

É dada uma circunferência de centro C e raio s; é dada uma recta m. Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente à recta m e à circunferência de centro C.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)

Para ter acesso e tentar resolver o exercício ou ver a nossa resolução, basta clicar sobre a ilustração. Utilize as ferramentas que estão disponíveis (a ferramenta de traçar perpendicular actua seleccionando um ponto e uma recta). Se precisar de alguma ajuda ou quiser ver a nossa resolução, carregue na ferramenta interrogativa.

(III) - Rectas e circunferências

Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas rectas concorrentes dadas.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)

Resolução enviada por Brigite Simões da Silva em carta publicada em 29 de Maio de 2005.

Resolução enviada por Brigite Simões da Silva em carta publicada em 29 de Maio de 2005.

Se quer ver a construção proposta por Brigite Silva, basta clicar aqui ou sobre a ilustração.

(II) - Pontos, rectas e circunferências

São dadas duas rectas paralelas, a e b, e um ponto P. Traçar a circunferência tangente às duas rectas e que passa por P.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)

Henrique escreveu no seu comentário:

O centro da circunferência tangente a duas rectas paralelas, tem de estar sobre um recta equidistante das primeiras. Depois, é preciso que o raio seja igual a metade da distância entre as rectas, sendo essa também a distância do ponto P ao centro. Não é?

E aqui fica a construção que respeita o comentário.

Julgamos poder afirmar que só há circunferência nas condições descritas quando P está entre as duas rectas paralelas. Não é?

Tomamos um ponto qualquer de uma das rectas, A sobre a, e por ele uma recta perpendicular a a. A distãncia entre as duas rectas a e b é |AB|. Pelo ponto médio de [AB],C, tomemos a recta paralela às duas a e b. Qualquer circunferência tangente a a e b terá o seu centro sobre essa paralela que passa por C, sendo o seu raio |AC|.

Bastará, agora tomar uma circunferência de centro em P e raio |AC|. O centro da circunferência que passa por P e é tangente às rectas a e b. O raio é |AC|.

Para ver a construção basta clicar sobre a ilustração. Na construção pode mover o ponto P.

(I) - Pontos, rectas e circunferências

Traçar por um ponto A de uma recta r uma circunferência tangente em r a A e que passa por um ponto B exterior a r.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)

Mariana S. enviou-nos esta ilustração
à    
acompanhada deste texto:
1. Desenhei a recta b perpendicular a r no ponto A (ela irá conter o centro da circunferência)
2. Desenhei o segmento de recta [AB] (c)e a recta d perpendicular a [AB] no ponto B
3. C é o ponto de intersecção de d e b.
4. Como o ângulo ABC é recto está inscrito na semicircunferência de centro D, ponto médio de [AC], e diâmetro [AC].

Para ver a construção e manipular a recta e os pontos, basta clicar sobre a ilustração.

Este exercício é mais rico do que parece. De facto, a resolução da Mariana S. não é a única e, em meu entender, não é a mais natural. Tem muito interesse saber porque é que para esta ou aquela construção (ou problema), cada um mobiliza este ou aquele conceito ou noção ou método ou processo. Gosto disto.

No Trapézio

A nova proposta de António Aurélio Fernandes, como modelo para parte das publicações, é esta:
Colocamos um problema geométrico para ser resolvido por quem quiser pensar nisso e, caso saibamos ou aprendamos a resolvê-lo entretanto, passados oito dias, publicamos alguma resolução nossa ou que nos seja proposta.

Escrevam comentários ou enviem-nos resoluções (com o cinderella, gsp, cabri,... ou de papel). É claro que aceitamos que nos proponham desafios.
[O Eduardo Veloso perguntava-me recentemente, a propósito das intenções deste "blog", que exercícios não sabia eu resolver. São tantas as minhas dificuldades em Geometria, acrescidas da dificuldade das abordagens com os computadores!... Eu nem consegui ainda fazer uma simples "cindy-roulette (?)" para a ciclóide que ele propôe no seu livro Geometria  (já citado em vários artigos), imaginem bem! E não estou sozinho, ... digo eu.]
Prometo que tentaremos resolver o que nos propuserem, pedir ajuda ou declararmo-nos derrotados, sempre que for caso disso. E não é pouco. Falem com a geometria. Sugiram ligações. Aceitamos todas as sugestões e conselhos.

A primeira proposta de trabalho é a construção de um trapézio conhecidos os seus lados. E mais: Que condições devem ser satisfeitas por quatro segmentos para que haja um trapézio que os tenha por lados? [Para que 3 segmentos sejam lados de um triângulo, basta que verifiquem aquela condição de cada um deles ser menor que a soma dos outros dois. E aqui?]

Casimiro e Mariana Sacchetti fizeram uma bela construção que nos enviaram.

Parabéns aos dois.

Nós transformámos a proposta em exercício interactivo para ser resolvido com poucas ferramentas - ponto, recta a passar por dois pontos, compasso. Mantemos o balão de bd com o "?" para o caso de querer sugestões ou para ver a construção passo a passo, bem como a "<-" de voltar atrás em algum passo. Esperamos que goste.
Comentários? Diga-nos se correr mal. Diga-nos se correr bem.


Há um ano atrás, colocámos aos alunos do 10º ano, o problema de construir em verdadeira grandeza, o polígono que se obtinha quando se cortava um cubo por um determinado plano. Tratava-se de determinar a secção e construir   um certo trapézio isósceles . Fez-se então uma pequena reflexão a respeito do assunto (e do uso a dar ao papel quadriculado) que se pode reviver agora. O problema que ora propomos é o mais geral.