6.3.05

Teorema de Brianchon

Para passar do teorema de Pascal para o seu dual - o teorema de Brianchon, basta permutar as palavras recta e ponto.

No teorema de Pascal, temos pontos sobre uma cónica e referimo-nos aos lados do hexágono inscrito. No teorema de Brianchon, teremos rectas tangentes a uma cónica e podemos referir-nos então a um hexágono circunscrito a uma cónica. No teorema de Pascal, pares de lados opostos do hexágono intersectam-se em três pontos que estão sobre uma mesma recta. No teorema de Brianchon, pares de pontos ou vértices opostos unem-se em rectas que passam por um mesmo ponto.

Brianchon publicou o seu teorema em 1810, tendo provado também que os lados do hexágono que circunscreve a cónica podem tomar-se por qualquer ordem.

Teorema de Brianchon - Num hexágono circunscrito a uma cónica, as rectas unindo pares de vértices opostos passam por um ponto.

Como construir um hexágono circunscritível a uma cónica (que não seja a circunferência)?
Como construir uma cónica tangente a seis rectas dadas?

Teorema de Pascal

N'O Dicionário de Geometria Curiosa, publicado pela Gradiva (nº 23 da Colecção O Prazer da Matemática), David Wells escreve:
Blaise Pascal descobriu o seu famoso teorema com a idade de 16 anos, em 1640, e publicou-o num opúsculo intitulado Essai pour les coniques. O teorema afirma que se partirmos de um hexágono inscrito numa cónica, então os três pontos nos quais os pares de lados opostos se encontram ficam alinhados. Se os pontos do hexágono forem designados por ABCDEF, então AB e DE serão lados opostos intersectando-se num ponto X e assim por diante. A recta XYZ é a recta de Pascal.
Para um hexágono inscrito em ziguezague, os pontos de encontro ficam dentro da cónica e a figura parece-se muito com a figura do Teorema de Papo. Na realidade, o Teorema de Papo é um caso especial do teorema de Pascal em que a cónica degenera num par de linhas rectas. Se o hexágono for desenhado de uma maneira mais normal, então os três pontos colineares ficarão fora da cónica.


Por definição, o Cinderella determina uma cónica qualquer dados cinco dos seus pontos e, também automaticamente, determina a circunferência que passa por três dos seus pontos. A circunferência fica também determinada dado o centro e um dos seus pontos ou dado o centro e o raio.
O que até agora não consegui resolver foi tomar um sexto ponto de uma cónica definida por cinco pontos. É claro que podem determinar-se seis pontos sobre uma circunferência dada.

Apresenta-se a construção relativa ao Teorema de Pascal para seis pontos de uma circunfer�ncia . Depois de aceder a essa antiga construção pode mover os pontos sobre a circunfer�ncia para verificar que os 3 pontos de intersecção dos lados opostos se mantêm sobre a mesma recta, sendo natural esperar que os pontos de intersecção saiam rapidamente dos limites da folha.

Recentemente, para uma sessão de demonstração do Cinderella, os professores da Escola José Estêvão que a promoveram propunham alguns problemas para serem resolvidos. Entre eles, apareciam as construções relativas ao Teorema de Pascal e ao seu dual - Teorema de Brianchon. E voltei a enfrentar a tal dificuldade insuperável do sexto ponto sobre a cónica definida por cinco pontos. Então propus uma verificação interessante para mim. Tomava cinco pontos sobre uma cónica e um sexto ponto. Fazia toda a construção e unia por uma recta dois dos pontos de intersecção dos lados opostos do hexágono. Podia ver-se que sempre que aproximava o meu sexto ponto da cónica, o terceiro ponto das intersecções de lados opostos se aproximava da tal recta previamente traçada pelos outros dois. E aproveitava para falar da minha limitação sempre na esperança de que alguém avançasse com algum palpite novo.

Nada mais aconteceu a este respeito. E decido-me, agora, a publicar uma construção referida a o que poderia chamar um recíproco do Teorema de Pascal.





Tomo 3 pontos G, H e I sobre uma recta e, a partir deles e de 3 pares de rectas neles concorrentes, reconstruo um sextuplo de pontos tal que a cónica definida por cinco deles passa pelo outro.
Tem interesse, penso eu, já que permite, manipulando os pontos da figura, ver as diversas cónicas e em que condições a recta de Pascal atravessa (ou não) a cónica em cada caso. Também se pode procurar a posição em que a cónica degenera e se fica com a construção relativa ao teorema de Papus.

5.3.05

O que tem acontecido?

A um visitante distraído pode parecer que o blogeometria tem estado parado e que o último artigo é do dia 22 do mês passado - Um erro corrigido. As aparências enganam. Nesse mês de Fevereiro, desde o dia 11 com Um problema de Euclides, e nesta primeira semana de Março, ganhámos várias tentativas de construção e a várias mãos. É preciso ir seguindo as diversas resoluções dos problemas que tinham sido propostas - sobre os artigos respectivos. E convém dizer que conseguimos aprender alguma geometria e formar opinião sobre questões de ensino da geometria, resolver alguns problemas e corrigir algumas das nossas dificuldades com o Cinderella e a publicação em .html.


Estamos convencidos que a aprendizagem da geometria está muito prejudicada com a falta de prática em construções geométricas de régua e compasso. E começamos a ficar convencidos que essa falha tem também consequências dramáticas ao nível do desenvolvimento dos raciocínios hipotético-dedutivos em geral. Resolver problemas construtivos era (em tempos e será ainda hoje) provavelmente a melhor fonte de motivação: desenhar fazendo tentativas, decompor em passos, criar nexos lógicos, etc. A geometria dinâmica - com recurso a computadores e programas como o Cinderella, o SketchPad e o Cabri ou fazendo experiências várias com diversos materiais manipulativos - permite retomar uma tradição de aprendizagem de construções e, mais que isso, permite fazer experiências para conjecturar que construção, quais os seus passos essenciais,... enfim, conjecturar um resultado e fazer uma demonstração. Por exemplo, é formativo verificar a resolução do exercício (VI) - Pontos, rectas e circunferências seguindo a proposta de roteiro feita por mim e mais formativo será provavelmente ver como é que manipulando os dados no GSP (se bem me lembro!), escolhi aquela construção como boa, respondendo a um desafio de Aurélio Fernandes.


Para ficarmos mesmo bem, só nos falta receber mais notícias sobre o que se vê e como se vê o que damos a ver. Mas isso não depende de nós.

22.2.05

Um erro corrigido

Nestes últimos dias, gastei muito do meu tempo a tentar melhorar a visualização para os exercícios interactivos. E tantas vezes repeti alguns que descobri um erro no exercício de transporte de comprimentos à Euclides . Ninguém deu pelo erro, mas ele lá esteve muito tempo - garanto eu. Peço a quem tenha paciência que verifique não só o exercício de transporte mas também o desempenho da coisa no seu computador. Tenho duas versões em dois servidores para ver qual delas é melhor. Hoje fui a uma reunião ao Departamento de Matemática e estive a verificar qual versão se vê melhor no computador Virgínial. Isto é complicado. Na Escola José Estêvão, em dois computadores vizinhos e ambos com sistemas win xp vêem-se coisas diferentes.

Para seguir o exercício, basta ir clicando na ferramenta - balão interrogativo - da segunda linha e ir lendo o texto que vai aparecendo na janela em primeira linha que acompanha a evolução da construção em terceira linha.

13.2.05

(VII) - Circunferências

São dadas três circunferências iguais, tangentes duas a duas. Determinar os centros e os raios das duas circunferências que são tangentes, uma interiormente, outra exteriormente, às circunferências dadas.

(Proposta de Coronnet, Puig Adam e Aurélio Fernandes)




Num comentário que pode ler-se em anexo, a Mariana escreveu: Se resolvi bem, o centro de ambas as circunferências é a intersecção das medianas do triângulo equilátero cujos vértices são os centros das três circunferências tangentes duas a duas. O raio da circunferência interior é a distância do centro de gravidade do triângulo ao seu vértice menos o raio das cicunferências dadas. O raio da exterior é a soma da mesma distância com o raio das circunferências dadas. (Está bem?)

Interpretando o que a Mariana escreveu, construímos uma solução a que demos a forma de exercício interactivo (porque é assunto sobre o qual nos interessa muito recolher informações).

Experimente uma das versões seguintes:
 <   A primeira  > 
ou
  <   A segunda  > 

Uma delas dará boa conta do exercício.



O que sugere esta proposta?

Se as três circunferências iniciais não forem iguais? Em que condições elas são tangentes duas a duas? Como encontrar as tangentes às três? Se existirem, as circunferências tangentes interior e exterior são concêntricas?

E se tomarmos quatro (ou cinco, ou seis, ...) circunferências tangentes duas a duas (iguais ou diferentes) haverá circunferências tangentes interiormente e exteriormente a todas elas? Em que condições?

(VI) - Pontos, rectas e circunferências

São dados uma recta, um ponto A sobre a recta e uma circunferência de centro B. Traçar a circunferência tangente à recta em A e tangente à circunferência de centro B.



(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)



Vamos começar a experimentar apresentar, por norma, propostas de exercícios interactivos em resposta aos desafios. Pode tentar resolver usando as ferramentas que se mostram disponíveis e, caso precise de ajude para dar um primeiro ou segundo passo, clicar no balão interrogativo e aceitar o passo (ou recusá-lo, há um rectângulo com uma seta para a esquerda para isso mesmo) para prosseguir até ao final.
Agradecemos a Ulli Kortemkamp, um dos autores do Cinderella, o apoio que nos tem dado e que resolve parte dos nossos problemas-Java entre plataformas, incluíndo a questão dos acentos do português.



Feita esta observação (para nós necessária), experimente o     exercício que pretende responder ao problema de construção     posto pelo enunciado que encima este artigo.
Pedimos desculpa pelas gralhas nos comentários (da consola do exercício) e mesmo por alguma falta de clareza que deles transpira. Desculpado isto que há-de vir a ser corrigido, para além de se divertirem a resolver o exercício, digam como é que vêem o desenrolar da coisa em cada computador. Será uma grande ajuda.

(V) - Raios de Circunferências

São dadas duas circunferências: uma de centro A e raio s, outra de centro B e raio t.
Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas circunferências dadas,

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)


Pois! Sofia Isabel Fonseca Miranda escolheu este problema e apresentou uma resolução que aqui se publica.

(IV) - Rectas e circunferências

É dada uma circunferência de centro C e raio s; é dada uma recta m. Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente à recta m e à circunferência de centro C.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)








Para ter acesso e tentar resolver o exercício ou ver a nossa resolução, basta clicar sobre a ilustração. Utilize as ferramentas que estão disponíveis (a ferramenta de traçar perpendicular actua seleccionando um ponto e uma recta). Se precisar de alguma ajuda ou quiser ver a nossa resolução, carregue na ferramenta interrogativa.

(III) - Rectas e circunferências

Traçar uma circunferência de raio r dado que seja tangente a duas rectas concorrentes dadas.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)




Resolução enviada por Brigite Simões da Silva em carta publicada em 29 de Maio de 2005.


Resolução enviada por Brigite Simões da Silva em carta publicada em 29 de Maio de 2005.

Se quer ver a construção proposta por Brigite Silva, basta clicar aqui ou sobre a ilustração.

(II) - Pontos, rectas e circunferências

São dadas duas rectas paralelas, a e b, e um ponto P. Traçar a circunferência tangente às duas rectas e que passa por P.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)


Henrique escreveu no seu comentário:

O centro da circunferência tangente a duas rectas paralelas, tem de estar sobre um recta equidistante das primeiras. Depois, é preciso que o raio seja igual a metade da distância entre as rectas, sendo essa também a distância do ponto P ao centro. Não é?

E aqui fica a construção que respeita o comentário.

Julgamos poder afirmar que só há circunferência nas condições descritas quando P está entre as duas rectas paralelas. Não é?

Tomamos um ponto qualquer de uma das rectas, A sobre a, e por ele uma recta perpendicular a a. A distãncia entre as duas rectas a e b é |AB|. Pelo ponto médio de [AB],C, tomemos a recta paralela às duas a e b. Qualquer circunferência tangente a a e b terá o seu centro sobre essa paralela que passa por C, sendo o seu raio |AC|.

Bastará, agora tomar uma circunferência de centro em P e raio |AC|. O centro da circunferência que passa por P e é tangente às rectas a e b. O raio é |AC|.

Para ver a construção basta clicar sobre a ilustração. Na construção pode mover o ponto P.

(I) - Pontos, rectas e circunferências

Traçar por um ponto A de uma recta r uma circunferência tangente em r a A e que passa por um ponto B exterior a r.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)




Mariana S. enviou-nos esta ilustração

   


acompanhada deste texto:
1. Desenhei a recta b perpendicular a r no ponto A (ela irá conter o centro da circunferência)
2. Desenhei o segmento de recta [AB] (c)e a recta d perpendicular a [AB] no ponto B
3. C é o ponto de intersecção de d e b.
4. Como o ângulo ABC é recto está inscrito na semicircunferência de centro D, ponto médio de [AC], e diâmetro [AC].


Para ver a construção e manipular a recta e os pontos, basta clicar sobre a ilustração.


Este exercício é mais rico do que parece. De facto, a resolução da Mariana S. não é a única e, em meu entender, não é a mais natural. Tem muito interesse saber porque é que para esta ou aquela construção (ou problema), cada um mobiliza este ou aquele conceito ou noção ou método ou processo. Gosto disto.

No Trapézio

A nova proposta de António Aurélio Fernandes, como modelo para parte das publicações, é esta:
Colocamos um problema geométrico para ser resolvido por quem quiser pensar nisso e, caso saibamos ou aprendamos a resolvê-lo entretanto, passados oito dias, publicamos alguma resolução nossa ou que nos seja proposta.

Escrevam comentários ou enviem-nos resoluções (com o cinderella, gsp, cabri,... ou de papel). É claro que aceitamos que nos proponham desafios.
[O Eduardo Veloso perguntava-me recentemente, a propósito das intenções deste "blog", que exercícios não sabia eu resolver. São tantas as minhas dificuldades em Geometria, acrescidas da dificuldade das abordagens com os computadores!... Eu nem consegui ainda fazer uma simples "cindy-roulette (?)" para a ciclóide que ele propôe no seu livro Geometria  (já citado em vários artigos), imaginem bem! E não estou sozinho, ... digo eu.]
Prometo que tentaremos resolver o que nos propuserem, pedir ajuda ou declararmo-nos derrotados, sempre que for caso disso. E não é pouco. Falem com a geometria. Sugiram ligações. Aceitamos todas as sugestões e conselhos.



A primeira proposta de trabalho é a construção de um trapézio conhecidos os seus lados. E mais: Que condições devem ser satisfeitas por quatro segmentos para que haja um trapézio que os tenha por lados? [Para que 3 segmentos sejam lados de um triângulo, basta que verifiquem aquela condição de cada um deles ser menor que a soma dos outros dois. E aqui?]




Casimiro e Mariana Sacchetti fizeram uma bela construção que nos enviaram.

Parabéns aos dois.


Nós transformámos a proposta em exercício interactivo para ser resolvido com poucas ferramentas - ponto, recta a passar por dois pontos, compasso. Mantemos o balão de bd com o "?" para o caso de querer sugestões ou para ver a construção passo a passo, bem como a "<-" de voltar atrás em algum passo. Esperamos que goste.
Comentários? Diga-nos se correr mal. Diga-nos se correr bem.


Há um ano atrás, colocámos aos alunos do 10º ano, o problema de construir em verdadeira grandeza, o polígono que se obtinha quando se cortava um cubo por um determinado plano. Tratava-se de determinar a secção e construir   um certo trapézio isósceles . Fez-se então uma pequena reflexão a respeito do assunto (e do uso a dar ao papel quadriculado) que se pode reviver agora. O problema que ora propomos é o mais geral.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção