Nas últimas entradas, tratámos os problemas de construção só com compasso. Tudo o que fazemos com a régua e o compasso, podemos realizar só com o compasso.
O
Teorema de Construção Mohr-Mascheroni fixa essa possibilidade.
Será que conseguimos resolver todos os problemas de construção de régua e compasso só com régua? Também já abordámos (de forma dispersa) problemas da resolução só com régua. Há problemas de régua e compasso que podem resolver-se só com régua, mas não todos. O simples problema de determinação do ponto médio entre dois pontos distintos não pode ser resolvido só com retas. (
Teorema de Construção Poncelet-Steiner)
Seguindo H. Eves, no seu livro
Fundamentals of Modern Elementary Geometry, voltaremos a essa história, mas para já abordamos um problema que podemos resolver porque nos é dado o ponto médio de dois pontos da reta da qual queremos determinar (construir) uma paralela a passar por um ponto a ela exterior
Primeiro Problema só com régua: Dados quatro pontos A, B, C, D, sendo C o ponto médio de AB, com recurso exclusivo a uma régua, construir a reta que passa por D e é paralela a AB.
Sigamos passo a passo a seguinte construção interactiva
- de que nos são dados os quatro pontos e a reta a.
- Traçamos as retas b = AD e c = BD.
- Tomamos um arbitrário ponto E distinto de D e incidente em b = AD
- Traçamos as retas d = CE e f = BE e o ponto F = c.d
- Traçamos a reta e = AF
- que corta a reta f = BE em G = e.f
- A reta g = DG é a paralela a a = AB que procurávamos
A afirmação final é suportada por não termos feito mais que construir um quadrilátero completo e, no quarteto harmónico
ABC...H
este último ponto de intersecção das retas
a e
g ser o conjugado harmónico de
C que, por
C ser equidistante de
A e
B, obrigaria
H a ser um ponto equidistante de
A e de
B que, não sendo
C, é um ponto no infinito.
............... CA . A............H = CB . B...........H...............
No próximo problema, não é dado o ponto o ponto médio de qualquer segmento da reta
AB e, em vez disso, temos uma circunferência e o seu centro.
Segundo Problema: Dado um círculo com o seu centro (O), uma reta AB e um ponto P não incidente em AB, usando unicamente retas (régua), construir a reta paralela a AB que passa por P.
Utilizamos o problema anterior para superar a falta do ponto médio de um segmento de
AB.
Qualquer reta que passe pelo centro de uma circunferência corta-a em dois pontos extremos de um diâmetro que é um segmento de reta de que temos o ponto médio
O e, por isso, podemos tirar por
P uma paralela a um qualquer diâmetro. Se os diâmetros não forem paralelos à reta
AB ... veremos, na construção dinâmica que se segue, passo a passo, deslocando o cursor
n que pode tomar valores de 1 a 13, como determinar um segmento de
AB e o seu ponto médio.
- Apresenta-se a reta AB e o ponto P a ela exterior e
- uma circunferência com seu centro (O)
- Uma reta que passa por O e corta a circunferência em R,S sendo RO=OS. E determinamos a paralela a RS que passa por P. Pode deslocar R sobre a circunferência e assim ver o que se passa com as diversas retas a passar por O
- Escolhida uma reta RS não paralela a AB, a paralela a RS que passa por P terá um ponto C em comum com a reta AB
- Tomada uma outra reta UV a passar por O, pelo mesmo processo, tiramos por P a paralela a ela que,
- não sendo paralela a AB, com esta terá um ponto D em comum.
- Por C, tiramos agora uma paralela a UV e
- por D uma paralela a RS, obtendo um ponto Q de intersecção destas duas últimas retas.
- Obtivemos desse modo um paralelogramo PCQD e em consequência um ponto M intersecção das suas diagonais e tal que CM=MD.
- Sendo este último ponto M equidistante de dois pontos C e D, podemos determinar o conjugado harmónico de M relativamente a C, D
- e a reta vermelha paralela à reta AB ou CD que passa por P, solução do problema de construção proposto.
Howard Eves.
Fundamentals of Modern Elementary Geometry
