Notas prévias:
O lugar geométrico dos pontos a uma distância \;r\; de um ponto \;O\; dado é uma circunferência centrada em \;O\; e de raio \;r\; e uma circunferência centrada em \;O\; e de raio \;r\; é o lugar geométrico dos pontos a uma distância \;r\; do ponto \;O.\;
A distância de um dado ponto O a uma reta a é igual ao comprimento do segmento da reta perpendicular tirada por \;O\; a \;a\; de extremos \;O\; e \;A,\; pé dessa perpendicular a \;a;\; e, por isso, podemos dizer que sendo o
lugar geométrico dos pontos dos pés das perpendiculares a retas equidistantes de um ponto \;O\; é uma circunferência ou mesmo que a circunferência é o lugar geométrico das retas equidistantes de \;O\; tomando por cada reta o seu ponto de tangência ou dizendo que a circunferência é envolvente (que envolve ou é envolvida) das retas equidistantes do seu centro.
Problema: Para um dado ângulo \;\angle B\hat{A}C, \; determinar a envolvente da base \;BC\; de um triângulo \;[BAC]\; cujo perímetro é constante.
F.G.-M. Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, - Problème 123. Quelle est l'envelope de la base BC d'un triangle BAC dont le périmètre est constant, et dont l'angle A est donné de grandeur et de position?
A seguir encontra-se uma ilustração dinâmica dos dados do enunciado deste problema, bem como dos auxiliares passos de uma construção em apoio da demonstração.
- Apresenta-se ao cimo da janela um segmento de reta de comprimento igual ao perímetro \;2p\; constante de um triângulo \;ABC\; partido em 3 segmentos, da esquerda para a direita, \;AB, \;BC, \;CA.\; e também em duas partes iguais a \;p,\; \;AM, \;MA\;.
Logo abaixo na janela, temos um exemplar de triângulo com um ângulo \;Â\; dado (no caso, de amplitude 46°) e lados com os comprimentos referidos acima ou seja com o perímetro constante considerado (no caso, 7).
Considerámos, no segmento original, o ponto \;B\; a tomar posições entre \;A\; e \;M,\; já que \;AB < BC+CA\; (desigualdade triangular). Se deslocar \;B\; pelas posições dos pontos de \;AM,\; obtemos todos os representantes dos triângulos de perímetro 7 e com ãngulo 46° em \;A.\;
Os lados \;AB\; e \;AC\; são segmentos das retas definidas por cada um dos pares de pontos \;(A,\; B),\; (A, \;C).\; Já vimos que não há triângulo quando \;B=A\; ou quando \;B=M\; - As posições extremas de \;B:\; B=M\; e \;B=A \; levam-nos a aos pontos de intersecção de \;AB\; e \;AC\; com a circunferência (A, \;p) sendo \;p=AM\; semiperímetro de triângulos com um ângulo de 46°
- \;AD=AE=p,\; ou seja \;ADE\; é um triângulo isósceles de base \;DE.\; com ângulo \;Â\; dado (46°)
\;AD+AE = 2p = AB+BC+CA\; - Consideremos a circunferência de centro em \;H\; tangente em \;D\; e \;E\; às retas \;AB\; e \;AC\; respetivamente:
- \;DH \perp AB, \;HE \perp AC,\;
- Por ser \; DH=HE, \; \;\; H\; está na bissetriz do ângulo \;Â.\; Assim, esta circunferência \;(H, HE)\; é uma ex-inscrita de qualquer dos triângulos \;ABC\; e portanto tangente a \;BC.\;
- As bases \;BC\; são tangentes ao arco aberto da circunferência \;(H, \;HT):\; ]\widehat{DTE}[ \; a vermelho (os extremos a castanho \;D, \;E\; não são pontos da envolvente dos segmentos \;BC\; considerados).
14 janeiro 2018, Criado com GeoGebra
