GEOMETRIA

31.1.16

Construir uma circunferência tangente a uma reta e passe por dois pontos (2)

Problema:
São dados dois pontos $\;A,\;B\;$ ambos à mesma distância de uma dada reta $\;r.\;$
Construir uma circunferência que passe pelos pontos $\;A, \;B\;$ e é tangente a $\;r. \;$

©geometrias. 31 janeiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode seguir a construção da solução do problema, fazendo variar os valores de n no seletor apresentado à direita baixa do retângulo de visualização

$\;A,\;B\;$ estão à mesma distância de

$\;r, \;$

$\;AB \parallel r.\;$ O centro da circunferência que passa por

$\;A,\;B\;$ é um ponto da mediatriz de

$\;AB \;$ que intersecta

$\;r\;$ em

$\;D.\;$ Como a mediatriz de

$\;AB\;$ é perpendicular a

$\;AB\;$ também é perpendicular à sua paralela

$\;r.\;$ Por isso o ponto

$\;D\;$ é o ponto de tangência da circunferência que passa por

$\;A, \;B\;$ e é tangente a

$\;r.\;$ Assim o centro da circunferência que procuramos é o ponto comum a

$\;CD\;$ e a mediatriz de

$\;AD\;$ ou de

$\;BD\;$

151. On donne une droite D et d'un même côté, sur une même perpendiculaire à D, deux points A et B. Construire un cercle passant par A et B et tangent à la droîte D.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Livbrairie Vuibert. Paris:1947

30.1.16

Construir uma circunferência tangente a uma reta e passe por dois pontos (1)

Problema:
São dados dois pontos $\;A,\;B\;$ ambos sobre uma perpendicular a uma reta $\;r\;$ dada e num dos semi-planos determinados por ela.
Construir uma circunferência que passe pelos pontos $\;A, \;B\;$ e é tangente a $\;r. \;$

©geometrias. 30 janeiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode seguir a construção da solução do problema, fazendo variar os valores de n no seletor apresentado à direita baixa do retângulo de visualização

Por serem dados dois pontos da circunferência que se procura, bastará determinar um terceiro ponto da circunferência ou o seu centro

$\;F\;$ que é um ponto equidistante dos pontos

$\;A\;$ e

$\;B\;$ —

$( FA = FB )$ — da mediatriz de

$\;[AB].$ Para que a circunferência seja tangente a

$\;r\;$ é preciso que o seu raio seja igual à distância de

$\;F\;$ a

$\;r,\;$ ou, o que é o mesmo, que seja igual à distância de

$\;r\;$ à mediatriz de

$\;[AB]\;$ . Esta distância é

$\;CD\;$ em que

$\;C\;$ é

$\;AB.r\;$ e

$\;D\;$ é o ponto médio de

$\;[AB]\;$ . O centro da circunferência é determinado como

$\; (A, CD). (B, CD),\;$ por exemplo. Há dois pontos

$\;E, \;F\;$ que verificam essas condições. As soluções do problemas serão

$\;(E, EA)\;$ e

$\;(F, FB) \;$ , simétricas relativamente ao espelho

$\;AB.\;$