GEOMETRIA

31.1.16

Construir uma circunferência tangente a uma reta e passe por dois pontos (2)

Problema:
São dados dois pontos $\;A,\;B\;$ ambos à mesma distância de uma dada reta $\;r.\;$
Construir uma circunferência que passe pelos pontos $\;A, \;B\;$ e é tangente a $\;r. \;$

©geometrias. 31 janeiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode seguir a construção da solução do problema, fazendo variar os valores de n no seletor apresentado à direita baixa do retângulo de visualização

Se $\;A,\;B\;$ estão à mesma distância de $\;r, \;$ $\;AB \parallel r.\;$ O centro da circunferência que passa por $\;A,\;B\;$ é um ponto da mediatriz de $\;AB \;$ que intersecta $\;r\;$ em $\;D.\;$ Como a mediatriz de $\;AB\;$ é perpendicular a $\;AB\;$ também é perpendicular à sua paralela $\;r.\;$ Por isso o ponto $\;D\;$ é o ponto de tangência da circunferência que passa por $\;A, \;B\;$ e é tangente a $\;r.\;$ Assim o centro da circunferência que procuramos é o ponto comum a $\;CD\;$ e a mediatriz de $\;AD\;$ ou de $\;BD\;$

151. On donne une droite D et d'un même côté, sur une même perpendiculaire à D, deux points A et B. Construire un cercle passant par A et B et tangent à la droîte D.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Livbrairie Vuibert. Paris:1947

30.1.16

Construir uma circunferência tangente a uma reta e passe por dois pontos (1)

Problema:
São dados dois pontos $\;A,\;B\;$ ambos sobre uma perpendicular a uma reta $\;r\;$ dada e num dos semi-planos determinados por ela.
Construir uma circunferência que passe pelos pontos $\;A, \;B\;$ e é tangente a $\;r. \;$

Pode seguir a construção da solução do problema, fazendo variar os valores de n no seletor apresentado à direita baixa do retângulo de visualização

Por serem dados dois pontos da circunferência que se procura, bastará determinar um terceiro ponto da circunferência ou o seu centro $\;F\;$ que é um ponto equidistante dos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ — $( FA = FB )$ — da mediatriz de $\;[AB].$ Para que a circunferência seja tangente a $\;r\;$ é preciso que o seu raio seja igual à distância de $\;F\;$ a $\;r,\;$ ou, o que é o mesmo, que seja igual à distância de $\;r\;$ à mediatriz de $\;[AB]\;$. Esta distância é $\;CD\;$ em que $\;C\;$ é $\;AB.r\;$ e $\;D\;$ é o ponto médio de $\;[AB]\;$. O centro da circunferência é determinado como $\; (A, CD). (B, CD),\;$ por exemplo. Há dois pontos $\;E, \;F\;$ que verificam essas condições. As soluções do problemas serão $\;(E, EA)\;$ e $\;(F, FB) \;$, simétricas relativamente ao espelho $\;AB.\;$