Resolver problema de construção usando o método do problema contrário (5)

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Problema: Dado um ponto $\;P\;$ e duas retas paralelas $\;a,\;b\;$ (margens de um rio?), determinar a posição de uma (ponte?) perpendicular para a qual o segmento da perpendicular entre as paralelas seja visto de $\;P\;$ segundo um ângulo $\;\alpha\;$ dado.

Claro que, na nossa construção, começamos por resolver um problema contrário do proposto:
tomamos uma qualquer perpendicular a $\;a,\;b\;$ que intersete $\;a\;$ em $\;A\;$ e $\;b\;$ em $\;B\;$ e determinamos um ponto $\;C\;$ numa posição relativa às paralelas em tudo igual à posição relativa de $\;P\;$, isto é sobre uma reta $\;c\;$, paralela a $\;a\;$ tirada por $\;P\;$

Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores $\;n\;$ no cursor $\; \fbox{n=1, 2, …, 5}$

1. Na nossa construção, apresentamos como dados as retas $\;a,\:b\;$, um ponto $\;P\;$ e um ângulo $\;\alpha\;$.
2. $\fbox{n=2}:\;$ O nosso segundo passo consiste em tirar por $\;P\;$ uma reta $\;c\;$ paralela a $\;b\;$ e uma perpendicular a $\;a\;$ cortando $\;a\;$ em $\;A\;$ e $\;b\;$ em $\;B.\;$. Para determinar o lugar geométrico dos pontos de onde se vê o segmento $\;AB\;$ começamos por tirar uma reta por $\;A\;$ a fazer um ângulo $\;\alpha \;$ com $\;AB\;$ (ver O 5º lugar geométrico da lista: - dos pontos P tais que A, B e ângulo APB são dados. )
3. $\fbox{n=3}:\;$ Apresentamos o lugar geométrico dos pontos dos quais se vê $\;AB\;$ segundo um ângulo $\;\alpha\;$, exatamente os dois arcos tracejados que têm $\;AB\;$ por corda comum (a circunferência de centro $\;O\;$ na interseção da mediatriz de $\;AB\;$ com a reta a fazer um ângulo complementar de $\;\alpha\;$ para que $AÔB = 2\alpha\;$ e todos os ângulos inscritos $\;A\hat{X}B = \alpha\;$, …).
   Desses pontos $\;X\;$, na nossa construção destacamos aqueles que estão em posições relativas a $\;a, \;b\;$ iguais às do ponto $\;P\;$, a saber, $\;E, \;F, \;G, \;H\;$ na interseção dos arcos com a reta $\;c\;$ paralela a $\;b\;$ tirada por $\;P\;$



© geometrias, 3 de Agosto de 2014, Criado com GeoGebra

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4. $\fbox{n=4}:\;$ Para obter uma solução do problema, bastará tirar por $\;P \;$ paralelas a $\:EA\;$ (a intersetar $\;a\;$) ou a $\;EB\;$ (a intersetar $\;b\;$)
5. $\fbox{n=5}:\;$ Os pontos $\;J\;$ e $\;K\;$ (respetivamente de interseção da paralela a $\;EB\;$ com $\;b\;$ e de interseção da paralela a $\;EA\;$ com $\;a\;$ ) são pontos de uma perpendicular a $\;a\;$ e $\;b\;$ e tais que $\;\hat{P}K =\alpha.\;$
   Outras soluções podem ser encontradas do mesmo modo.

Resolver problema de construção usando os métodos do problema contrário e transformação (4)

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Problema: Inscrever num retângulo $\;[ABCD],\;$ um paralelogramo semelhante a outro $\;[EFGH]\;$ dado.

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Vilela, António Lôbo. Métodos Geométricos. Editorial Inquérito, Lda. Lisboa:1939

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O problema proposto consiste em construir um paralelogramo $\;[E_1F_1G_1H_1]\;$ semelhante a $\;[EFGH]\;$, inscrito no retângulo $\;[ABCD]\;$ dado: $\;E_1 \in AB, \;F_1\in BC, \;G_1 \in CD, \;H_1 \in DA.\;$
Para resolver o problema proposto, começamos por construir um retângulo semelhante a $\;[ABCD]\;$ circunscrito a $\;[EFGH]\;]$ ou cujos lados passem pelos vértices $\;E,\;F, \;G,\;H\;$ do paralelogramo.

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Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores $\;n\;$ no cursor $\; \fbox{n=1, 2, …, 6}$

1. Na nossa construção, apresentamos como dados um retângulo $\;[ABCD]\;$ e um paralelogramo $\;[EFGH]\;$. Para além disso, apresentamos as diagonais do retângulo $\; AC, \;BD\;$ e o ângulo $\; \alpha\;$ por elas formado. De igual modo, se mostram as diagonais $\;EG, \;FH\;$ do paralelogramo e o ângulo $\;\beta\;$ por elas formado.
   Estes dados são relevantes para qualquer resolução do problema, pois "a condição necessária e suficiente para que dois paralelogramos sejam semelhantes é que sejam iguais os ângulos formados pelas respetivas diagonais".
2. Começamos por construir um retângulo semelhante a $\;[ABCD]\;$ circunscrito ao paralelogramo $\;[EFGH],\;$ ou seja, um retângulo com cada um dos seus lados a passar por um dos vértices do paralelogramo e com as diagonais a fazer ângulo igual ao das retas $\;(AC, \; BD) =137.48^o,\;$ na ilustração.
   • $\fbox{n=2}:\;$ O centro do paralelogramo é o centro do retângulo a ele circunscrito, no caso $\;I.\;$. Para obter uma reta que seja diagonal de um retângulo centrado em $\;I\;$ semelhante a $\;[ABCD]\;$, bastará encontrar um outro ponto da diagonal para além do $\;I\;$, por exemplo, o ponto de interseção imagem da reta de um dos lados, p.e. $\;HE\;$, pela rotação $\;{\cal{R}}(I, \; \alpha)\;$, com a reta do lado consecutivo $\;EF\;$ (Verifique.)
   • $\fbox{n=3}:\;$Para ser retângulo (lados consecutivos perpendiculares) cada um dos seus vértices terá de ser um ponto de circunferência com um dos lados do paralelogramo por diâmetro. No caso da nossa construção, encontramos o primeiro vértice do retângulo circunscrito intersetando a reta obtida como reta diagonal com a circunferência de diâmetro $\;FG\;$. Os lados desse retângulo, a passar por $\;E, \;F, …\;$ são obtidos facilmente.

© geometrias, 27 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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3. O retângulo obtido é semelhante a $\;[ABCD]\;$, o que significa há uma transformação de semelhança a relacioná-los.
   $\fbox{n=4}:\;$ No caso da nossa construção, escolhemos o vértice $\;R,\;$ por ele tirámos uma paralela a $\;AB\;$ e aplicámos-lhe que a rotação $\;{\cal{R}}(R, \zeta)\;$, de modo a obter pares de lados paralelos a pares de lados paralelos de $\;[ABCD]\;$
   Obtivemos um novo paralelogramo inscrito no novo retângulo ao aplicar-lhe a mesma rotação $\;{\cal{R}}(R, \zeta)\;$, que preserva as incidências, os comprimentos, as amplitudes
4. $\fbox{n=5}:\;$ Finalmente a este novo retângulo do qual os pontos $\;R, \;S\;$ são vértices, aplicamos a homotetia de centro em $\;CR.DS\;$ e razão $\; \displaystyle \frac{CD}{RS}\;$ que transforma $\;C\;$ em $\;R\;$ e $\;D\;$ em $\;S\;$
5. $\fbox{n=6}:\;$Obviamente que, por essa homotetia, o paralelogramo laranja da figura que está inscrito no retângulo laranja (obtidos pela rotação $\;{\cal{R}}(R, \zeta)\;$ é transformado no paralelogramo $\;[E_1F_1G_1H_1]\;$ que, porque a homotetia preserva incidências, etc, é um paralelogramo inscrito em $\;[ABCD]\;$ semelhante a $\;[EFGH]\;$.

Claro que usámos transformações e podemos dizer, por isso, que usámos o método das transformações. O que é o mais natural é usarmos vários métodos para resolver qualquer problema. E, mesmo quando não o referimos, o mais natural é que face a um problema comecemos por usar a análise e acabemos a usar a síntese que são os raciocínios gerais em geometria, essenciais para resolver problemas de construção.