3.8.14

Resolver problema de construção usando o método do problema contrário (5)


Problema: Dado um ponto $\;P\;$ e duas retas paralelas $\;a,\;b\;$ (margens de um rio?), determinar a posição de uma (ponte?) perpendicular para a qual o segmento da perpendicular entre as paralelas seja visto de $\;P\;$ segundo um ângulo $\;\alpha\;$ dado.

Claro que, na nossa construção, começamos por resolver um problema contrário do proposto:
tomamos uma qualquer perpendicular a $\;a,\;b\;$ que intersete $\;a\;$ em $\;A\;$ e $\;b\;$ em $\;B\;$ e determinamos um ponto $\;C\;$ numa posição relativa às paralelas em tudo igual à posição relativa de $\;P\;$, isto é sobre uma reta $\;c\;$, paralela a $\;a\;$ tirada por $\;P\;$

Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores $\;n\;$ no cursor $\; \fbox{n=1, 2, …, 5}$
  1. Na nossa construção, apresentamos como dados as retas $\;a,\:b\;$, um ponto $\;P\;$ e um ângulo $\;\alpha\;$.
  2. $\fbox{n=2}:\;$ O nosso segundo passo consiste em tirar por $\;P\;$ uma reta $\;c\;$ paralela a $\;b\;$ e uma perpendicular a $\;a\;$ cortando $\;a\;$ em $\;A\;$ e $\;b\;$ em $\;B.\;$. Para determinar o lugar geométrico dos pontos de onde se vê o segmento $\;AB\;$ começamos por tirar uma reta por $\;A\;$ a fazer um ângulo $\;\alpha \;$ com $\;AB\;$ (ver O 5º lugar geométrico da lista: - dos pontos P tais que A, B e ângulo APB são dados. )
  3. $\fbox{n=3}:\;$ Apresentamos o lugar geométrico dos pontos dos quais se vê $\;AB\;$ segundo um ângulo $\;\alpha\;$, exatamente os dois arcos tracejados que têm $\;AB\;$ por corda comum (a circunferência de centro $\;O\;$ na interseção da mediatriz de $\;AB\;$ com a reta a fazer um ângulo complementar de $\;\alpha\;$ para que $AÔB = 2\alpha\;$ e todos os ângulos inscritos $\;A\hat{X}B = \alpha\;$, …).
    Desses pontos $\;X\;$, na nossa construção destacamos aqueles que estão em posições relativas a $\;a, \;b\;$ iguais às do ponto $\;P\;$, a saber, $\;E, \;F, \;G, \;H\;$ na interseção dos arcos com a reta $\;c\;$ paralela a $\;b\;$ tirada por $\;P\;$

  4. © geometrias, 3 de Agosto de 2014, Criado com GeoGebra


  5. $\fbox{n=4}:\;$ Para obter uma solução do problema, bastará tirar por $\;P \;$ paralelas a $\:EA\;$ (a intersetar $\;a\;$) ou a $\;EB\;$ (a intersetar $\;b\;$)
  6. $\fbox{n=5}:\;$ Os pontos $\;J\;$ e $\;K\;$ (respetivamente de interseção da paralela a $\;EB\;$ com $\;b\;$ e de interseção da paralela a $\;EA\;$ com $\;a\;$ ) são pontos de uma perpendicular a $\;a\;$ e $\;b\;$ e tais que $\;\hat{P}K =\alpha.\;$
    Outras soluções podem ser encontradas do mesmo modo.
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