Problema: Dado um ponto \;P\; e duas retas paralelas \;a,\;b\; (margens de um rio?), determinar a posição de uma (ponte?) perpendicular para a qual o segmento da perpendicular entre as paralelas seja visto de \;P\; segundo um ângulo \;\alpha\; dado.
Claro que, na nossa construção, começamos por resolver um problema contrário do proposto:
tomamos uma qualquer perpendicular a \;a,\;b\; que intersete \;a\; em \;A\; e \;b\; em \;B\; e determinamos um ponto \;C\; numa posição relativa às paralelas em tudo igual à posição relativa de \;P\;, isto é sobre uma reta \;c\;, paralela a \;a\; tirada por \;P\;
Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores \;n\; no cursor \; \fbox{n=1, 2, …, 5}
Claro que, na nossa construção, começamos por resolver um problema contrário do proposto:
tomamos uma qualquer perpendicular a \;a,\;b\; que intersete \;a\; em \;A\; e \;b\; em \;B\; e determinamos um ponto \;C\; numa posição relativa às paralelas em tudo igual à posição relativa de \;P\;, isto é sobre uma reta \;c\;, paralela a \;a\; tirada por \;P\;
Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores \;n\; no cursor \; \fbox{n=1, 2, …, 5}
- Na nossa construção, apresentamos como dados as retas \;a,\:b\;, um ponto \;P\; e um ângulo \;\alpha\;.
- \fbox{n=2}:\; O nosso segundo passo consiste em tirar por \;P\; uma reta \;c\; paralela a \;b\; e uma perpendicular a \;a\; cortando \;a\; em \;A\; e \;b\; em \;B.\;. Para determinar o lugar geométrico dos pontos de onde se vê o segmento \;AB\; começamos por tirar uma reta por \;A\; a fazer um ângulo \;\alpha \; com \;AB\; (ver O 5º lugar geométrico da lista: - dos pontos P tais que A, B e ângulo APB são dados. )
-
\fbox{n=3}:\; Apresentamos o lugar geométrico dos pontos dos quais se vê \;AB\; segundo um ângulo \;\alpha\;, exatamente os dois arcos tracejados que têm \;AB\; por corda comum (a circunferência de centro \;O\; na interseção da mediatriz de \;AB\; com a reta a fazer um ângulo complementar de \;\alpha\; para que AÔB = 2\alpha\; e todos os ângulos inscritos \;A\hat{X}B = \alpha\;, …).
Desses pontos \;X\;, na nossa construção destacamos aqueles que estão em posições relativas a \;a, \;b\; iguais às do ponto \;P\;, a saber, \;E, \;F, \;G, \;H\; na interseção dos arcos com a reta \;c\; paralela a \;b\; tirada por \;P\; - \fbox{n=4}:\; Para obter uma solução do problema, bastará tirar por \;P \; paralelas a \:EA\; (a intersetar \;a\;) ou a \;EB\; (a intersetar \;b\;)
-
\fbox{n=5}:\; Os pontos \;J\; e \;K\; (respetivamente de interseção da paralela a \;EB\; com \;b\; e de interseção da paralela a \;EA\; com \;a\; ) são pontos de uma perpendicular a \;a\; e \;b\; e tais que \;\hat{P}K =\alpha.\;
Outras soluções podem ser encontradas do mesmo modo.
© geometrias, 3 de Agosto de 2014, Criado com GeoGebra
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