Resolver problema de construção usando os métodos do problema contrário e transformação (4)

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Problema: Inscrever num retângulo $\;[ABCD],\;$ um paralelogramo semelhante a outro $\;[EFGH]\;$ dado.

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Vilela, António Lôbo. Métodos Geométricos. Editorial Inquérito, Lda. Lisboa:1939

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O problema proposto consiste em construir um paralelogramo $\;[E_1F_1G_1H_1]\;$ semelhante a $\;[EFGH]\;$, inscrito no retângulo $\;[ABCD]\;$ dado: $\;E_1 \in AB, \;F_1\in BC, \;G_1 \in CD, \;H_1 \in DA.\;$
Para resolver o problema proposto, começamos por construir um retângulo semelhante a $\;[ABCD]\;$ circunscrito a $\;[EFGH]\;]$ ou cujos lados passem pelos vértices $\;E,\;F, \;G,\;H\;$ do paralelogramo.

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Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores $\;n\;$ no cursor $\; \fbox{n=1, 2, …, 6}$

1. Na nossa construção, apresentamos como dados um retângulo $\;[ABCD]\;$ e um paralelogramo $\;[EFGH]\;$. Para além disso, apresentamos as diagonais do retângulo $\; AC, \;BD\;$ e o ângulo $\; \alpha\;$ por elas formado. De igual modo, se mostram as diagonais $\;EG, \;FH\;$ do paralelogramo e o ângulo $\;\beta\;$ por elas formado.
   Estes dados são relevantes para qualquer resolução do problema, pois "a condição necessária e suficiente para que dois paralelogramos sejam semelhantes é que sejam iguais os ângulos formados pelas respetivas diagonais".
2. Começamos por construir um retângulo semelhante a $\;[ABCD]\;$ circunscrito ao paralelogramo $\;[EFGH],\;$ ou seja, um retângulo com cada um dos seus lados a passar por um dos vértices do paralelogramo e com as diagonais a fazer ângulo igual ao das retas $\;(AC, \; BD) =137.48^o,\;$ na ilustração.
   • $\fbox{n=2}:\;$ O centro do paralelogramo é o centro do retângulo a ele circunscrito, no caso $\;I.\;$. Para obter uma reta que seja diagonal de um retângulo centrado em $\;I\;$ semelhante a $\;[ABCD]\;$, bastará encontrar um outro ponto da diagonal para além do $\;I\;$, por exemplo, o ponto de interseção imagem da reta de um dos lados, p.e. $\;HE\;$, pela rotação $\;{\cal{R}}(I, \; \alpha)\;$, com a reta do lado consecutivo $\;EF\;$ (Verifique.)
   • $\fbox{n=3}:\;$Para ser retângulo (lados consecutivos perpendiculares) cada um dos seus vértices terá de ser um ponto de circunferência com um dos lados do paralelogramo por diâmetro. No caso da nossa construção, encontramos o primeiro vértice do retângulo circunscrito intersetando a reta obtida como reta diagonal com a circunferência de diâmetro $\;FG\;$. Os lados desse retângulo, a passar por $\;E, \;F, …\;$ são obtidos facilmente.

© geometrias, 27 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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3. O retângulo obtido é semelhante a $\;[ABCD]\;$, o que significa há uma transformação de semelhança a relacioná-los.
   $\fbox{n=4}:\;$ No caso da nossa construção, escolhemos o vértice $\;R,\;$ por ele tirámos uma paralela a $\;AB\;$ e aplicámos-lhe que a rotação $\;{\cal{R}}(R, \zeta)\;$, de modo a obter pares de lados paralelos a pares de lados paralelos de $\;[ABCD]\;$
   Obtivemos um novo paralelogramo inscrito no novo retângulo ao aplicar-lhe a mesma rotação $\;{\cal{R}}(R, \zeta)\;$, que preserva as incidências, os comprimentos, as amplitudes
4. $\fbox{n=5}:\;$ Finalmente a este novo retângulo do qual os pontos $\;R, \;S\;$ são vértices, aplicamos a homotetia de centro em $\;CR.DS\;$ e razão $\; \displaystyle \frac{CD}{RS}\;$ que transforma $\;C\;$ em $\;R\;$ e $\;D\;$ em $\;S\;$
5. $\fbox{n=6}:\;$Obviamente que, por essa homotetia, o paralelogramo laranja da figura que está inscrito no retângulo laranja (obtidos pela rotação $\;{\cal{R}}(R, \zeta)\;$ é transformado no paralelogramo $\;[E_1F_1G_1H_1]\;$ que, porque a homotetia preserva incidências, etc, é um paralelogramo inscrito em $\;[ABCD]\;$ semelhante a $\;[EFGH]\;$.

Claro que usámos transformações e podemos dizer, por isso, que usámos o método das transformações. O que é o mais natural é usarmos vários métodos para resolver qualquer problema. E, mesmo quando não o referimos, o mais natural é que face a um problema comecemos por usar a análise e acabemos a usar a síntese que são os raciocínios gerais em geometria, essenciais para resolver problemas de construção.

Resolver problema de construção usando o método do problema contrário (3)

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Problema: Num quadrado de lado $\;L,\;$ inscrever um quadrado de lado $\;l.\;$

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Vilela, António Lôbo. Métodos GeométricosMétodos Geométricos. Editorial Inquérito, Lda. Lisboa:1939

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Este é um bom exemplo da utilidade do método contrário.
O problema proposto consiste em construir um quadrado $\;[ABCD]\;$ de lado $\;L\;$ e a partir dele construir um outro quadrado $\;[EFGH]\;$ de lado $\;l\;$ de tal modo que cada um dos seus vértices incida num lado do quadrado de lado $\;L.\;$
Ao resolvermos o problema contrário, resolvido fica o problema proposto.
O problema contrário do proposto consiste em construir um quadrado $\;[EFGH]\;$ de lado $\;l\;$ e a partir dele construir um outro quadrado $\;[ABCD]\;$ de lado $\;L\;$ de tal modo que cada um dos seus lados incida num vértice do quadrado de lado $\;l.\;$

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A sequência das três partes da construção pode ser vista, fazendo variar os valores $\;n\;$ no cursor $\; \fbox{n=1, 2, 3}$

1. Começamos então pela construção de um quadrado $\;[EFGH]\;$ de lado $\;l.\;$

© geometrias, 22 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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2. Como queremos construir um quadrado de lado $\;L\;$ circunscrito a $\;[EFGH]\;$ precisamos de construir quatro segmentos de comprimento $\;L\;$ cada um a passar por um vértice do quadrado de lado $\;l\;$ e tais que os seus extremos se encontrem sobre circunferências cujos diâmetros sejam lados consecutivos de $\;[EFGH].\;$ Para isso, começámos pelos lados $\;HG\;$ e $\;HE\;$ e as circunferências de diâmetros $\;HE\;$ e $\;HG\;$ e procuramos a reta que passando por $\;H,\;$ determine um segmento de comprimento $\;L\;$ nas duas circunferências que se cortam em $\;H.\;$ Como vimos, na vinheta anterior, bastar-nos-á determinar um ponto $\;D\;$ de interseção da circunferência de diâmetro com extremos nos pontos médios dos lado $\;HE\;$ e $\;HG\;$ com a circunferência centrado no ponto médio de $\;HG\;$ e raio $\;\frac{ L}{2} ,\;$ para obter uma corda de tamanho $\;\frac{ L}{2} .\;$
3. A reta paralela a essa que passa por $\;H\;$ determina nas circunferências de diâmetros $\;HE\;$ e $\;HG\;$ um segmento $\;CD\;$ de comprimento $\;L\;$ a passar por $\; H.\;$ E o quadrado $\;[ABCD]\;$ de lado $\;L\;$ pode determinar-se pelas perpendiculares a $\;CD\;$ em $\;D,\;$ a $\;CD \;$ em $\;C,\;$ a $\; DA\;$ em $\;A.\;$ Os vértices assim obtidos são vértices de triângulos retângulos inscritos em semicircunferências cujos diâmetros são lados do quadrado $\;[EFHGH]$

Notas:

1. Para que o problema seja possível (tenha solução) é preciso que $\;L\;$ seja no máximo igual à diagonal do quadrado de lado $\;l\;$, seja, que $\;L\leq l\sqrt{l}. \;$ O mais seguro teria sido considerar $\;l \leq L\leq l\sqrt{l}, \;$ cuidado que não tivemos.
2. O problema proposto podia resolver-se sem recurso ao problema contrário. Como sabemos, uma circunferência com centro no centro do quadrado $\;[ABCD]\;$ e de raio igual a metade da diagonal de um quadrado de lado $\;l\;$ que é $\; \displaystyle \frac{l\sqrt{2}}{2}\;$ perfeitamente construtível com régua e compasso. Esta circunferência é circunscrita ao quadrado $\;[EFGH]\;$ e, por isso, interseta lados opostos do quadrado $\;[ABCD]\;$ circunscrito em vértices opostos do quadrado $\;EFGH]\;$ inscrito.