GEOMETRIA

23.1.15

Espiral de Fermat

No Tratado das Curvas, Gomes Teixeira chama espiral de Fermat a uma curva que, em termos de construção, não acrescenta novidade à espiral de Arquimedes da anterior entrada.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada

$\;Q\;$ existe um ângulo

$\;\theta\;$ e ponto

$\;D\;$ sobre

$\;AB\;$ tal que

$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \theta)& \\ D& \mapsto & Q\\ \end{matrix}$ sendo que para cada

$\;D\;$ de

$\;AB\;$ haverá um

$\; k: \;0 \leq k\leq 1\;$ tal que

$\; D=A+k\times(B-A)\;$ (ou

$\; \overrightarrow{AD}= k\times \overrightarrow{AB}$ ):

: $\; k=0 \Leftrightarrow D=A, \; k=1 \Leftrightarrow D=B\;$
e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\theta}{2\pi}: \;$
$\theta=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow Q=D=A, \; \theta=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow Q=D=B\;$

Cada ponto

$\;R\;$ é obtido por rotação em torno de

$\;A\;$ e ângulo

$\;\pi+theta\;$ de um dos pontos D, exatamente

$\;D=A+\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}(B-A)\;$ que é o mesmo que dizer que

$\;R\;$ é obtido como imagem de

$\;Q\;$ por meia volta de centro em

$\;A\;$

A espiral construída é o conjunto de pontos

$\;\left\{\;Q: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \theta\right\}\;$ e

$\;\left\{\;R: \;AQ = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} (\theta+\pi)\right\}\;$ em que são dados

$\;A, \;B\;$ e

$\;\theta\;$ toma valores no intervalo (de radianos)

$\;[ 0, \; 2\pi ].$

Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909

16.1.15

Espiral de Arquimedes

A primeira espiral que é estudada no Tratado das Curvas (referido em entradas anteriores e na nota de rodapé) é a chamada Espiral de Arquimedes, no Tratado definida como lugar geométrico dos pontos

$\;P\;$ de uma semi-reta

$\;\dot{A}P\;$ a rodar em torno do ponto

$\;A\;$ dado, ao mesmo tempo que que se desloca sobre essa semi-reta a parir de

$\;A\;$ sendo constante a velocidade dos dois movimentos. Para além do estudo da curva e das suas propriedades, o Tratado contém notas históricas sobre autorias da descoberta da curva e das demonstrações das suas propriedades.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada

$\;P\;$ existe um ângulo

$\;\alpha\;$ e ponto

$\;D\;$ sobre

$\;AB\;$ tal que

$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \alpha)& \\ D& \mapsto & P\\ \end{matrix}$ sendo que para cada

$\;D\;$ de

$\;AB\;$ haverá um

$\;0 \leq k\leq 1\;$ tal que

$\; P=A+k\times(B-A)\;$ (ou

$\; \overrightarrow{AP}= k\times \overrightarrow{AB}$ ):

: $\; k=0 \Leftrightarrow P=A, \; k=1 \Leftrightarrow P=B\;$
e para sincronizar os dois movimentos $\; k = \displaystyle \frac{\alpha}{2\pi}: \;$
$\alpha=0 \Leftrightarrow k=0 \Leftrightarrow P=D=A, \; \alpha=2\pi \Leftrightarrow k=1 \Leftrightarrow P=D=B\;$

A espiral construída é o conjunto de pontos

$\;\left\{\;P: \;AP = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \alpha\right\}\;$ em que são dados

$\;A, \;B\;$ e

$\;\alpha\;$ toma valores no intervalo (de radianos)

$\;[ 0, \; 2\pi ].$

Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909