GEOMETRIA

5.7.14

Resolver um problema de construção usando análise e síntese (7)

Problema:
Determinar um ponto $\;P\;$ sobre uma reta que contém um diâmetro $\;AB\;$ de uma dada circunferência $\;(O)\;$ tal que, sendo $\;T\;$ o ponto de tangência da tangente à circunferência tirada por $\;P, \;$ $\;PT = 2PA.\;$

Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. 2^ème livre- La Circonférence. Vuibert. Paris:1947

Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
Análise do problema:
Com o problema resolvido, teríamos uma circunferência $\;(O)\;$, um ponto $\;P\;$ no exterior de $\;(O)\;$ sobre um diâmetro $\;AB\;$, uma tangente num ponto $\;T\;$ da circunferência a passar por $\;P\;$, sendo $\;PT=2PA.\;$
Sabemos também que $\;PA \times PB =PT^2\;$ (potência de um ponto $\;P\;$ relativamente à circunferência $\;(O).\;$)
Assim, de $\;PT^2 =4PA^2= PA\times PB$ se tira $\;4PA=PB=BA+PA\;$ e, em consequência, $\;3PA=AB\;$ ou $\; \displaystyle PA=\frac{AB}{3}.\;$

A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise do problema resolvido. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

A análise feita, diz-nos que, nas condições do problema, $$PT=2PA \Longrightarrow \displaystyle PA=\frac{AB}{3}.\;$$
Seguindo o que nos é sugerido, começamos por dividir $\;AB\;$ em três partes iguais.
E tomamos para ponto $\;P\;$ um dos pontos de interseção da circunferência $\,\left(A, \;\displaystyle \frac{AB}{3}\right).\;$ com a reta $\;AB\;$, isto é $\;P : 3PA =AB.\;$
Determinamos os pontos $\;T\;$ e $\;U\;$ de tangência das tangentes a $\;(O)\;$ que passam por $\;P\;\;\;\;$
Será que $\;3PA=AB \Longrightarrow 2PA=PT\;?\;$. Como $\;BP=BA+AP\;$ e, por construção, $\;3PA=AB\;$, $\;BP =4PA\;$
Por ser $\;PA\times PB = PT^2,\;$ temos $\;4PA^2=PT^2,\;$ e, em consequência $\;2PA=PT\;\;\;\;$ □

3.7.14

Resolver um problema de construção, usando análise e síntese (6)

Problema:
Construir um quadrilátero convexo de que conhecem os comprimentos dos quatro lados e a amplitude do ângulo formado por dois lados não consecutivos.

Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. 2^ème livre- La Circonférence. Vuibert. Paris:1947

Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
Análise do problema:
Com o problema resolvido, teríamos um trapézio $\;[ABCD]\;$ de lados $\;AB=a, \;BC=b, \; CD=c,\;DA=d, \;$ e sendo $\;\alpha\;$ o ângulo formado pelas duas retas $\;AB\;$ e $\;CD\;$. Uma paralela a $\;AB\;$ tirada por $\;D\;$ fará com $\;DC \;$ um ângulo de amplitude $\;\alpha\;$. Se tomarmos $\;E\;$ para o lado de $\;B\;$ sobre essa paralela a $\;AB\;$ tirada por $\;D\;$ de tal modo que $\;DE=AB\;$, $\;[ADEB]\;$ é um paralelogramo
A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise do problema resolvido. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

A análise feita, sugere-nos que o quadrilátero $\;[ABCD]\;$ requerido se pode reconstruir a partir de um triângulo $\;[CDE]\;$ sendo $\;C\hat{D}E = \alpha, \; CD=c,\; DE=a.\;$
Começamos por tomar um ponto $\;C\;$ qualquer no plano.
E tomamos para $\;D\;$ um ponto qualquer da circunferência de raio $\;c\;$ e centro em $\;C\;$
Tomamos $\;DC\;$ para lado de um ângulo de amplitude $\;\alpha\;$, e construímos outro lado a partir de $\;D\;$. Marcamos $\;E\;$ sobre esse segundo lado à distância $\;a\;$ de $\;D\;$
$\;B\;$ estará na interseção das circunferências $\; (C, \;b)\;$ e $\;(E,\;d)\;$
A paralela a $\;DE\;$ tirada por $\;B\;$ interseta a paralela a $\;BE\;$ tirada por $\;D\;$ no ponto $\;A\;$
O quadrilátero $\;[ABCD]\;$ assim obtido satisfaz as condições requeridas no enunciado do problema. □

Variando os comprimentos dos lados, constatará que o problema nem sempre tem solução.