Resolver um problema de construção usando análise e síntese (5)

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Problema:     Construir um trapézio de que se conhecem os quatro lados

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Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. 2_ème livre- La Circonférence. Vuibert. Paris:1947

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Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
Análise do problema:
Suponhamos o problema resolvido: Teríamos um trapézio $\;[ABCD]\;$ que tem por lados $\;AB=a, \;BC=b, \; CD=c, \; DA=d, \;$ sendo $\;AB \;$ a base maior e $\;CD\;$ a base menor do trapézio. Tirando por $\;C\;$ uma paralela a $\;DA\;$, ela corta $\;AB\;$ em $\;E.\;$ Do triângulo $\;[BCE]\;$ conhecemos os comprimentos dos seus três lados: $\;EB=AB-AE=a-c, \;BC=b, \; EC=AD=d\;$.
A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 8}.\;$

© geometrias, 2 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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1. A análise feita, diz-nos que um triângulo de lados $\;b, \;d, \;|a-c|\;$ é parte do trapézio que pode ser construída e a partir do qual se pode construir um trapézio com os lados dados.
2. Começamos por tomar um ponto $\;B\;$ qualquer
3. O ponto $\;C\;$ pode ser um ponto qualquer da circunferência de raio $\;b\;$ e centro em $\;B\;$
4. Relativamente a esses $\;B\;$ e $\;C\;$, o ponto $\;E\;$ referido na análise do problema é um dos pontos da interseção da circunferência de centro $\;B\;$ e raio igual a $\;|a-c|\;$ (diferença das bases do trapézio) com a circunferência de centro $\;C\;$ e raio $\;d.\;$
5. Temos um triângulo $\;[BCE]\;$, a partir do qual se pode construir o trapézio.
   O que falta para termos o trapézio que procuramos resume-se a obter os dois vértices do paralelogramo de $\;[AECD]\;$ de que conhecemos $\;CE=d =AD, \;CE \parallel AD, \; AE=c=CD, \;AE \parallel CD.\;$
6. $\; A \in BE.(B, \;a)\;$
7. A paralela a $\;CE\;$ tirada por $\;A\;$ interseta a paralela a $\;BE\;$ tirada por $\;C\;$ no ponto $\;D\;$.
8. E, finalmente, podemos apresentar o polígono $\;[ABCDE]\;$ que é o trapézio requerido. □

A existência de solução do problema está ligada às condições de existência do triângulo $\;[BCE]\;$, a saber
$\;|a-c| < b+d, b<|a-c|+d, d<|a-c|+b \;$ que é o mesmo que $\;|b-d|< |a-c| < b+d . \;$
No caso dos dados originalmente apresentados, consideramos$\;c < a\;$ e portanto $\;|a-c|=a-c\;$, isto é, que $\;a\;$ e $\;c\;$ são respetivamente a base maior e a base menor do trapézio.

Resolver problema de construção, usando análise e síntese (4)

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Problema:     Construir um triângulo isósceles de que se conhecem o circulo circunscrito e a soma da base com a altura correspondente.

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Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. Vuibert. Paris:1947

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Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.

1. Suponhamos o problema resolvido: Teremos um triângulo isósceles $\;[ABC]\; (AB=AC),\;$ inscrito no círculo circunscrito $\;(O)\;$ dado e tal que a altura $\;AD=h\;$ e a base $\;BC=a\;$ têm soma dada $\;s=a+h.\;$
   • Num triângulo isósceles a altura $\;AD\;$ bisseta a base $\;BC,\;$ por isso passa pelo circuncentro $\;O\;$. Podemos escrever $\;AD+2BD=s.\;$ Quando prolongamos $\;AD\;$ até $\;E\;$ tal que $\;DE=BC,\;$ temos $\;AE=s\;$ e $\;2BD=DE,\;$ donde $\;\displaystyle \frac{BD}{BE} =\frac{1}{2}.$
   • Se prolongarmos $\;EB\;$ até encontrar no ponto $\;F\;$ a tangente a $\;(O)\;$ tirada por $\;A\;$, temos um novo triângulo $\;[EAF]\;$, retângulo em $\;A\;$, que é obviamente semelhante ao triângulo $\;[EDB]: \;\;\; \displaystyle \frac{AF}{AE}=\frac{DB}{DE} = \frac{1}{2};\;\;$ $\;\;AE=s\;$ e $\;\displaystyle AF=\frac{s}{2}.\;$

A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

© geometrias, 28 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra

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1. É dado um segmento de comprimento $\;s=a+h\;$ e uma circunferência de centro $\;O\;$ circunscrita do triângulo procurado.
2. Assim, começamos por tomar para vértice $\;A\;$ um ponto qualquer da circunferência dada e traçamos o diâmetro que passa por $\;A\;$ e contém a altura $\;h\;$ relativa a $\;a.\;$.
3. De acordo com o sugerido na análise feita, interessa determinar o ponto $\;E\;$, desse diâmetro tal que $\;AE=a+h\;$: $\;AO.(A,s).\;$
4. E, em seguida, determinamos o ponto $\;F\;$ da tangente a $\;(O)\;$ tirada por $\;A\;$ e à distância $\;\displaystyle \frac{s}{2}\;$ de $\;A.\;$
5. A reta $\;EF\;$ interseta a circunscrita $\;(O\;)\;$, para os dados da nosso problema, por exemplo, $\;B\;$. A perpendicular a $\;AE\;$ (ou paralela a $\;AF\;$) interseta $\;(O)\;$ num ponto $\;C\;$, para além de $\;B\;$ e $\;AE\;$ em $\;D\;$. O triângulo $\;[ABC]\;$ de altura $\;AD\;$ é uma das soluções do problema: Como, por construção, $\;O \in AE,\;$ e $\;AE\perp BC, \;$ então $\;AD=DB\;$. Assim fica provado que $\;[ABC]\;$ está inscrito em $\;(O)\;$ e é isósceles. □
6. Outra solução, será o triângulo $\;[AB_1C_1]\;$ de altura $\;AD_1\;$ e base $\;B_1C_1\;$

Para cada $\;A\;$ de $\;(O)\;$ haverá duas soluções, para os dados que se mostram inicialmente. Fazendo variar o comprimento do segmento $\;s\;$ pode ver em que condições há 0, 1 ou 2 soluções para o problema