Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (10)

Problema: Determinar uma circunferência de um dado raio e centro sobre uma dada reta que seja tangente a uma circunferência dada.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O_0\;$, uma reta $\;a\;$ ; um segmento $\;r\;$.
2.
Para resolver este problema, basta-nos determnar um ponto $\;O\;$ sobre $\;a\;$ de tal modo que seja centro de uma circunferência de raio $\;r\;$ e tangente à circunferência dada de centro $\;O_0\;$.

• As circunferências de raio $\;r\;$ que tocam num só ponto uma circunferência de centro $\;O_0\;$ e raio $\;r_0\;$ estão sobre uma circunferência de centro $\;O_0\;$ e raio $\;r_0 + r\;$
• Traçada essa circunferência $\;(O_0, r+r_0 )\;$,lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ tais que $\;O_0P=r_0 +r\;$, só nos resta determinar a interseção dela com a reta $\;a\;$.
  No último passo toma-se $\;O\;$, um dos pontos de interseção de $\;(O_0, r+r_0 )\;$, e a circunferência $\;(O, r)$ (a vermelho) satisfaz as condições do problema.

Utilizámos tão só circunferências, ou seja o 1º lugar geométrico da lista.
Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$

© geometrias, 15 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
No caso da nossa figura, a circunferência $\;(O_0, r_0+r) \;)$ interseta $\;a\;$ em dois pontos, ou seja há duas soluções para o problema.
Pode fazer variar o tamanho de $\;r\;$ e confirmar que pode haver uma só solução ou nenhuma. E poderá, estudar as condições de existência das soluções (dependendo de $\;r\;, \;r_0\;$, ...)

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (9)

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Problema: Por dois pontos de uma circunferência tirar duas cordas paralelas de que se conhece a soma dos seus comprimentos.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O\;$ e dois pontos $\;A\;B\;$ sobre ela; um segmento $\;s=AC+BD\;$.
2.
O problema pede que determinemos dois pontos $\;C, \;D\;$ da circunferência dada, tais que $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e $\;s=AC+BD\;$. $\;ABCD\;$ será um trapézio inscrito na circunferência de centro $\;O\;$ dada.

• Nas codições do problema, este trapézio é isósceles: $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e, em consequência, $\;CD=AB\;$. Os pontos médios $\;M, \; N\;$ das cordas $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão à mesma distância de $\;O\;$. $\;MO = NO\;$. Isto é os pontos médios de $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão na circunferência $\;(O, OM)\;$ (1º lugar geométrico da lista)
• Como $\;MN\;$ é a mediana $\;\displaystyle \frac{AC+BD}{2}\;$ do trapézio $\;ABCD\;$ , $\;N\;$ estará sobre a circunferência centrada em $\;M\;$ e de raio $\; \displaystyle \frac{s}{2}\;$ (1º lugar geométrico da lista).

© geometrias, 14 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção das circunferências $\;(O, OM)\;$ e $\; \left(M, \displaystyle \frac{s}{2} \right)\;$ (caso existam), serão pontos médios de $\;CD\;$ de acordo com as condições do problema. Conhecido $\;N\;$, como interseção da perpendicular a $\;ON\;$ com a circunferência dada obtêm-se os pontos $\;C\;$ e $\;D\;$
($\;CD\;$ é corda da circunferência dada de centro $\;O\;$ e $\;N\;$ é o ponto médio $\;CD\;$)
No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos $\; N, \;N'\;$ e há por isso dois trapézios que satisfazem o pretendido $\;ACBD\;$ e $\;AC'D'B\;$
Pode fazer variar o tamanho de $\;s\;$ e confirmará que pode haver uma só solução ou nenhuma, que há casos em que o trapézio se reduz a um triânguo ou mesmo só a $\;AB\;$ e em que os segmentos $\;AB\;$ e $\;CD\;$ se intersetam, ...