GEOMETRIA

12.1.14

Instrumentos euclidianos

As próximas entradas ilustrarão o uso dos instrumentos e métodos de construção euclidianos.

No Livro I dos Elementos, Euclides dá as seguintes definições:

I.Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
II. Linha é o, que tem comprimento sem largura.
III. As extremidades da linha são pontos.
IV. Linha recta é aquella, que está posta egualmente entre as suas extremidades.
...
XV. Círculo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circumferencia: de maneira que todas as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circumferencia, são eguais entre si

e, mais adiante, apresenta-nos os seguintes postulados

I. Pede-se como cousa pessoal, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta
II.E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessário.
III. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um círculo

Estes postulados garantem todas as construções primitivas com as quais todas as construções dos Elementos de Euclides se podem compor. Constituem-se em regras do jogo das construções de Euclides, restringindo todas as construções às que podem ser feitas:com instrumentos "euclideanos": uma régua de arestas para traçar tanto quanto o desejemos uma reta determinada por dois pontos; um compasso que nos permite determinar uma circunferência de um dado centro e passando por um dado ponto.

3.1.14

Casos de simetria de figuras. Não caso da inversão/reflexão

Chamamos simetria de um conjunto de pontos (ou figura) a qualquer isometria que transforma o conjunto de pontos (ou figura) em si mesma. As isometrias do plano que fixam um conjunto de pontos são as simetrias desse conjunto de pontos. O conjunto das simetrias de uma figura, munido da composição, é um grupo - grupo das simetrias da figura.

Dizemos que o hexágono regular (à esquerda) é uma figura simétrica pela reflexão de eixo (espelho) representado pela reta vermelha. Admite para além desse eixo de simetria, outros cinco. A imagem do hexágono pela reflexão é o hexágono; para cada reflexão são invariantes os pontos do eixo que a define. O ponto de interseção dos eixos de simetria é um centro de simetria: as rotações de n.60º com n inteiro, em torno desse ponto transformam o hexágono em si mesmo; o centro da simetria é invariante para todas as simetrias de rotação; as rotações de n.360º deixam invariantes todos os pontos do hexágono regular. A simetria de meia volta também é considerada como simetria central ou relativa à reflexão em relação ao centro: a cada P da figura corresponde um ponto P' colinear com P e O(centro) tal que OP=OP'
Os triângulos equiláteros da figura II têm 3 eixos de simetria, mas o hexágono (não regular) não. Mas é fácil verificar que esse hexágono tem um centro de simetria - rotação de n.120º, com n inteiro. Claro que estas simetrias de rotação do hexágono II não pode ser considerada uma simetria central no sentido descrito antes para a figura I.

Notas sobre a inversão (reflexão) que, não sendo isometria do plano, não é simetria de figura do plano:
Dada uma circunferência, por exemplo, haverá alguma inversão (reflexão relativa a uma circunferência) que seja simetria da circunferência? Sabemos que uma circunferência qualquer é imagem de si mesma por inversão relativa a qualquer das suas ortogonais. Mas não é isometria, logo não é uma simetria da circunferência. E qualquer circunferência é inversa de si mesma pela inversão relativamente a si mesma. Mas, mesmo neste caso, em que a restrição da inversão à circunferência de inversão inverte cada ponto em si mesmo, não estamos perante uma simetria já que a inversão não é uma isometria do plano.