Triângulo isósceles: invariância da soma das distâncias do lados iguais a pontos da base.

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TEOREMA: Se por um ponto qualquer $\;D,\;$ da base $\;BC\;$ de um triângulo $\;ABC\;$ isósceles, tirarmos perpendiculares $\;DE, \; DF\;$ respetivamente aos lados $\;AC\;$ e $\;AB\;$ iguais, então a soma $\;DE+DF\;$ é sempre a mesma qualquer que seja a posição de $\;D.\;.$
PROBLEMA: Provar que é invariante a soma das distâncias $\;DE+DF\;$ de um ponto qualquer $\;D\;$ de $\;BC\;$ aos lados $\;AC\;$ e $\;AB\;$ .

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F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, - Problème 20. 20. La somme des perpendiculaires abaissées d'un point quelconque de la base d'un triangle isocèle sur les côtés égaux, quelconque est une quantité constante.

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Todos os passos da construção e demonstração em tudo são análogos aos usados na anterior entrada

$\;\fbox{n=1}:\;$ Apresenta-se um triângulo isósceles $\;ABC\;$ de base $\;BC\;$ e sobre esta um ponto $\;D\;$ que pode tomar a posição de qualquer dos seus pontos. E mostram-se também os pontos $\;E, \;F\;$ pés das perpendiculares a $\;AC,\; AB\;$ por $\;D\;$ tiradas.Também se mostram os segmentos (distâncias do problema) das perpendiculares $\;[DE],\; [DF]$

$\;\fbox{n=2}:\;$ Para verificar a invariância da soma, bastará prolongar uma das perpendiculares, no caso da nossa construção prolongamos o segmento $\;[DF]\;$ acrescentando $\;[DN],\;$ em que $\;N\;$ é ponto de intersecção da recta $\;DF\;$ com uma paralela a $\;AC\;$ tirada por $\;C\;$ (ou o que é o mesmo com uma perpendiculara a $\;DF\;$ tirada por $\;C.$)
Ficamos assim com três triângulos retângulos semelhantes $\;DBF, \;CDN, \;DCE:\;$

• $\; \angle F\hat{B}D = \angle D\hat{C}E\;$ ângulos da base do triângulo $\;ABC\;$ isósceles;
• $\; \angle D\hat{F}B = \angle C\hat{E}D= 1\;$ reto, por construção (dados da hipótese);
• e, em consequência, $\; \angle B\hat{D}F= \angle E\hat{D}C\;$;
• $\;\angle N\hat{C}D= \angle F\hat{B}D \;$ por terem os lados inversamente paralelos;
• e finalmente $\; \angle B\hat{D}F = \angle C\hat{D}N \;$ são iguais por serem verticalmente opostos.
• Podemos agora afirmar que, mais do que semelhantes, são iguais os triângulos $\;CED, \;CDN\;$ por terem os três ângulos iguais e a hipotenusa $\;CD\;$ comum.
• Por isso, $\;DE = DN\;$ e $\;FD+DN= FD+DE = FN\;$ que os valores referidos nos textos abaixo da construção sugerem que os diversos valores de $\;DE\;$ e $\;DF\;$ quando $\;D\;$ se desloca sobre a base $\;BC\;$ têm uma soma constante.

31 janeiro 2018, Criado com GeoGebra

$\;\fbox{n=3}:\;$ Apresenta-se neste passo o segmento $\;[CL]\;$ da paralela a $\;FN\;$ tirada por $\;C\;$ (ou da perpendicular a $\;AB\;$ tirada por $\;C\;$ que é uma das duas alturas iguais do triângulo $\;ABC\;$ tiradas pelos vértices opostos $\;C\;$ e $\;B\;$ opostos aos lados iguais $\;AB\;$ e $\;AC,\;$ que não sofre qualquer variação quando $\;D\;$ muda de posição e tem comprimento igual a $\;\overline{FN},\;$ ou seja, à soma das duas distâncias dos lados iguais do triângulo isósceles a cada ponto da base. Fica assim demonstrado que essa soma é constante.

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Quando $\;D\;$ se encontra em $\;C\;$o retângulo $\;CLFN\;$ tem área $\; CL\times FF\;$ nula. Quando $\;D\;$ se encontra em $\;B\;$o retângulo $\;CLFN\;$ tem área $\; CL\times LB\;$ máxima

Quanto ao perímetro, como uma das dimensões do retângulo é sempre a mesma, o perimetro é um mínimo $\;CL\;$ quando $\;D\;$ toma a posição de $\;C\;$ e é máximo $\;2(CL+LB)\;$ quando $\;D\;$ toma a posição de $\;B\;$

Paralelogramos inscritos num triângulo isósceles com um perímetro comum.

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TEOREMA:Por um ponto qualquer $\;D,\;$ da base $\;BC\;$ de um triângulo $\;ABC\;$ isósceles, tiram-se paralelas aos lados iguais $\;AB, \;AC\,$ do triângulo que intersetam os lados $\;AC, \;AB \;$ em $\;E\;$ e em $\;F\;$ respetivamente. Para cada $\;D\;$ de $\;]BC[\;$ há um paralelogramo $\;[DEAF].\;$ Prova-se que os paralelogramos $\;[DEAF]:\;D \in ]BC[\;$ são isoperimétricos.
PROBLEMA: Provar que a soma dos comprimentos dos lados de todos os paralelogramos é invariante.

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F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, - Problème 19. Par un point quelconque de la base d'un triangle isocèle on mène des parallèles aux côtés égaux; prouver qye le parallélogramme ainsi formé a un périmètre constant.

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Considera-se que na resolução deste problema de demonstração se recorre ao método geral de análise já que se aceita que a afirmação é verdadeira, o que é o mesmo que supor ter o problema resolvido. Os primeiros três passos da construção abaixo dão toos os elementos para a demonstração do teorema.

$\;\fbox{n=1}:\;$ Apresenta-se um triângulo isósceles $\;ABC\;$ de base $\;BC\;$ e sobre esta um ponto $\;D\;$ que pode tomar a posição de qualquer dos seus pontos. E mostram-se também os pontos $\;E, \;F\;$ vértices do paralelogramo $\;DEAF\;$ conforme dados da hipótese do teorema.

$\;\fbox{n=2}:\;$ Claro que lados opostos do paralelogramo têm comprimento igual (segmentos paralelos entre paralelas são iguais) $\;AE=FD, \;AF=DE\;$ e, por isso, o perímetro de $\;DEAF\;$ é igual ao dobro da soma de dois dos seus lados consecutivos: $\;DE+EA+AF+FD= 2 (DE+FD). \;$ Se $\;DE+FD\;$ não depender da posição de $\;D\;$ em $\;BC\;$, o perímetro de $\;DEAF\;$ não varia quando a posição de $\;D\;$ varia. Desloque $\;D\;$ para confirmar isso (conjetura) - nos textos se vê como variam os comprimentos $\;DE\;$ e $\;FD\;$ tendo soma constante.

$\;\fbox{n=3}:\;$ Claro que ângulos de lados paralelos são iguais em amplitude, por exemplo, $\;\angle B\hat{A}C= \angle D\hat{E}C =\angle B\hat{E}D, \; $ $\angle B\hat{C}A= \angle D\hat{C}E = \angle B\hat{D}F\;$ e, como é óbvio, por ser $\;\angle A\hat{B}C = \angle B\hat{C}A\;$ do triângulo isósceles $\;ABC,\;$ os triângulos $\;BDF\;$ e $\;DCE,\;$ de onde se retira que $\;DE=EC\;$ ou seja $\;\overline{FD}+\overline{ED} = \overline{FD}+\overline{EC}=\overline{AE}+\overline{ED}\;$
Prolongando $\;FD\;$ e tirando por $C\;$ a paralela a $\;AB\;$ obtemos um paralelogramo $\;FGCA\;$ que para qualquer posição de $\;D\;$ (incluindo $\;B\;$ e $\;C\;$) $\;FD+DE =FG= AC\;$ que não depende da posição de $\;D\;$

22 janeiro 2018, Criado com GeoGebra

Aproveitamos a oportunidade para lembrar um OUTRO PROBLEMA (clássico), usando a mesma construção:
Dos paralelogramos $\;DEAF\;$ isoperimétricos, qual deles tem área máxima?
De outro modo, qual a posição de $\;D\;$ para a qual $\;DEAF\;$ tem área máxima?
Ou ainda, de entre os números com uma certa soma constante, quais deles têm um produto máximo?
$\;\fbox{n=4}:\;$ Mostra-se a área de $\;DEAF\;$ variável com $\;D\;$ como se pode ver.
$\;\fbox{n=5}:\;$ Quando a posição de $\;D\;$ varia em $\;BC\;$, a área de $\;DEAF\;$ como função de $\;BD\;$ é representada por uma curva que se mostra neste passo… □

Envolvente. Problema recorrrendo a lugar geométrico (20)

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Notas prévias:

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O lugar geométrico dos pontos a uma distância $\;r\;$ de um ponto $\;O\;$ dado é uma circunferência centrada em $\;O\;$ e de raio $\;r\;$ e uma circunferência centrada em $\;O\;$ e de raio $\;r\;$ é o lugar geométrico dos pontos a uma distância $\;r\;$ do ponto $\;O.\;$
A distância de um dado ponto O a uma reta a é igual ao comprimento do segmento da reta perpendicular tirada por $\;O\;$ a $\;a\;$ de extremos $\;O\;$ e $\;A,\;$ pé dessa perpendicular a $\;a;\;$ e, por isso, podemos dizer que sendo o
lugar geométrico dos pontos dos pés das perpendiculares a retas equidistantes de um ponto $\;O\;$ é uma circunferência ou mesmo que a circunferência é o lugar geométrico das retas equidistantes de $\;O\;$ tomando por cada reta o seu ponto de tangência ou dizendo que a circunferência é envolvente (que envolve ou é envolvida) das retas equidistantes do seu centro.

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Problema: Para um dado ângulo $\;\angle B\hat{A}C, \;$ determinar a envolvente da base $\;BC\;$ de um triângulo $\;[BAC]\;$ cujo perímetro é constante.

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F.G.-M. Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, - Problème 123. Quelle est l'envelope de la base BC d'un triangle BAC dont le périmètre est constant, et dont l'angle A est donné de grandeur et de position?

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A seguir encontra-se uma ilustração dinâmica dos dados do enunciado deste problema, bem como dos auxiliares passos de uma construção em apoio da demonstração.

1. Apresenta-se ao cimo da janela um segmento de reta de comprimento igual ao perímetro $\;2p\;$ constante de um triângulo $\;ABC\;$ partido em 3 segmentos, da esquerda para a direita, $\;AB, \;BC, \;CA.\;$ e também em duas partes iguais a $\;p,\;$ $\;AM, \;MA\;$.
   Logo abaixo na janela, temos um exemplar de triângulo com um ângulo $\;Â\;$ dado (no caso, de amplitude 46°) e lados com os comprimentos referidos acima ou seja com o perímetro constante considerado (no caso, 7).
   Considerámos, no segmento original, o ponto $\;B\;$ a tomar posições entre $\;A\;$ e $\;M,\;$ já que $\;AB < BC+CA\;$ (desigualdade triangular). Se deslocar $\;B\;$ pelas posições dos pontos de $\;AM,\;$ obtemos todos os representantes dos triângulos de perímetro 7 e com ãngulo 46° em $\;A.\;$
   Os lados $\;AB\;$ e $\;AC\;$ são segmentos das retas definidas por cada um dos pares de pontos $\;(A,\; B),\; (A, \;C).\;$ Já vimos que não há triângulo quando $\;B=A\;$ ou quando $\;B=M\;$




14 janeiro 2018, Criado com GeoGebra




2. As posições extremas de $\;B:\; B=M\;$ e $\;B=A \;$ levam-nos a aos pontos de intersecção de $\;AB\;$ e $\;AC\;$ com a circunferência $(A, \;p)$ sendo $\;p=AM\;$ semiperímetro de triângulos com um ângulo de 46°
3. $\;AD=AE=p,\;$ ou seja $\;ADE\;$ é um triângulo isósceles de base $\;DE.\;$ com ângulo $\;Â\;$ dado (46°)
   $\;AD+AE = 2p = AB+BC+CA\;$
4. Consideremos a circunferência de centro em $\;H\;$ tangente em $\;D\;$ e $\;E\;$ às retas $\;AB\;$ e $\;AC\;$ respetivamente:
   • $\;DH \perp AB, \;HE \perp AC,\;$
   • Por ser $\; DH=HE, \; \;\; H\;$ está na bissetriz do ângulo $\;Â.\;$ Assim, esta circunferência $\;(H, HE)\;$ é uma ex-inscrita de qualquer dos triângulos $\;ABC\;$ e portanto tangente a $\;BC.\;$
5. As bases $\;BC\;$ são tangentes ao arco aberto da circunferência $\;(H, \;HT):\; ]\widehat{DTE}[ \;$ a vermelho (os extremos a castanho $\;D, \;E\;$ não são pontos da envolvente dos segmentos $\;BC\;$ considerados).