TEOREMA:Por um ponto qualquer $\;D,\;$ da base $\;BC\;$ de um triângulo $\;ABC\;$ isósceles, tiram-se paralelas aos lados iguais $\;AB, \;AC\,$ do triângulo que intersetam os lados $\;AC, \;AB \;$ em $\;E\;$ e em $\;F\;$ respetivamente. Para cada $\;D\;$ de $\;]BC[\;$ há um paralelogramo $\;[DEAF].\;$ Prova-se que os paralelogramos $\;[DEAF]:\;D \in ]BC[\;$ são isoperimétricos.
PROBLEMA: Provar que a soma dos comprimentos dos lados de todos os paralelogramos é invariante.
F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, - Problème 19. Par un point quelconque de la base d'un triangle isocèle on mène des parallèles aux côtés égaux; prouver qye le parallélogramme ainsi formé a un périmètre constant.
Considera-se que na resolução deste problema de demonstração se recorre ao método geral de análise já que se aceita que a afirmação é verdadeira, o que é o mesmo que supor ter o problema resolvido. Os primeiros três passos da construção abaixo dão toos os elementos para a demonstração do teorema.
$\;\fbox{n=1}:\;$ Apresenta-se um triângulo isósceles $\;ABC\;$ de base $\;BC\;$ e sobre esta um ponto $\;D\;$ que pode tomar a posição de qualquer dos seus pontos. E mostram-se também os pontos $\;E, \;F\;$ vértices do paralelogramo $\;DEAF\;$ conforme dados da hipótese do teorema.
$\;\fbox{n=2}:\;$ Claro que lados opostos do paralelogramo têm comprimento igual (segmentos paralelos entre paralelas são iguais) $\;AE=FD, \;AF=DE\;$ e, por isso, o perímetro de $\;DEAF\;$ é igual ao dobro da soma de dois dos seus lados consecutivos: $\;DE+EA+AF+FD= 2 (DE+FD). \;$ Se $\;DE+FD\;$ não depender da posição de $\;D\;$ em $\;BC\;$, o perímetro de $\;DEAF\;$ não varia quando a posição de $\;D\;$ varia. Desloque $\;D\;$ para confirmar isso (conjetura) - nos textos se vê como variam os comprimentos $\;DE\;$ e $\;FD\;$ tendo soma constante.
$\;\fbox{n=3}:\;$ Claro que ângulos de lados paralelos são iguais em amplitude, por exemplo, $\;\angle B\hat{A}C= \angle D\hat{E}C =\angle B\hat{E}D, \; $ $\angle B\hat{C}A= \angle D\hat{C}E = \angle B\hat{D}F\;$ e, como é óbvio, por ser $\;\angle A\hat{B}C = \angle B\hat{C}A\;$ do triângulo isósceles $\;ABC,\;$ os triângulos $\;BDF\;$ e $\;DCE,\;$ de onde se retira que $\;DE=EC\;$ ou seja $\;\overline{FD}+\overline{ED} = \overline{FD}+\overline{EC}=\overline{AE}+\overline{ED}\;$
Prolongando $\;FD\;$ e tirando por $C\;$ a paralela a $\;AB\;$ obtemos um paralelogramo $\;FGCA\;$ que para qualquer posição de $\;D\;$ (incluindo $\;B\;$ e $\;C\;$) $\;FD+DE =FG= AC\;$ que não depende da posição de $\;D\;$
22 janeiro 2018, Criado com GeoGebra
Aproveitamos a oportunidade para lembrar um OUTRO PROBLEMA (clássico), usando a mesma construção:
Dos paralelogramos $\;DEAF\;$ isoperimétricos, qual deles tem área máxima?
De outro modo, qual a posição de $\;D\;$ para a qual $\;DEAF\;$ tem área máxima?
Ou ainda, de entre os números com uma certa soma constante, quais deles têm um produto máximo?
$\;\fbox{n=4}:\;$ Mostra-se a área de $\;DEAF\;$ variável com $\;D\;$ como se pode ver.
$\;\fbox{n=5}:\;$ Quando a posição de $\;D\;$ varia em $\;BC\;$, a área de $\;DEAF\;$ como função de $\;BD\;$ é representada por uma curva que se mostra neste passo… □
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