De vez em quando vamos acrescentando problemas de construção euclidiana (régua e compasso) usando um outro dos métodos já apresentados seguindo vários autores que foram sendo referenciados. Hoje resolvemos um problema de quadrados a partir da análise das propriedades de quadrados, ângulos, … triângulos isósceles,….
Problema: Construir um quadrado de que é dado um segmento de comprimento igual à soma \;d+l"\; dos comprimentos da diagonal e do lado.
F.G.-M. Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, Problema 41.
Com o problema resolvido, teríamos um quadrado \;[ABCD]\; sendo \;AB=BC=CD=DA=l,\; AC=BD=d.\; Sabemos que as diagonais de um quadrado são perpendiculares se bissetam num ponto e bissectam os ângulos retos do quadrado. Cada uma das diagonais divide o quadrado em dois triângulos rectângulos isósceles. \;ABC, \;CDA\; por \;AC\; e \;DAB, \; BCD\; por \;DB.\;
O que temos é um segmento de reta de comprimento \;d+l = \overline{AC}+\overline{CD}.\; Tomada uma reta qualquer e sobre ela o segmento de reta de extremos \;A\; e \;E\; como uma extensão da diagonal \;AC,\; o vértice \;C\; do quadrado é o ponto que divide \;AE = d+l\; em \;AC=d\; e \;CE=l.\;
Chamemos \;M\; ao ponto médio de \;AE,\; podemos construir um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa \;AE\; e catetos \;AF, \;EF\; sendo \;F\; a intersecção da perpendicular a \:AE\, tirada por \;M\, com uma semicircunferência de diâmetro \;AE\;. Este triângulo isósceles é meio quadrado de diagonal \;AE\; Sobre o cateto \;AF\; deste triângulo \;AEF,\; incidirá o vértice \;D\; do quadrado que procuramos. Como \;AE\; é a reta da diagonal \;AC, \;\; CD \parallel EF \perp AF\;
A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações desveladas na análise acima feita. Pode segui-la fazendo variar os valores de \;n\; no cursor \;\fbox{n=1,..., 5}.\;
8 janeiro 2018, Criado com GeoGebra
Considerando as considerações acima, podemos apresentar em síntese, os passos da nossa construção bem justificados.
Para \;\fbox{n= 1}:\; a figura apresentada ilustra os dados \;A, \;E,\;AE= d+l, para além do cursor \;\fbox{n=1,..., 5}.\;
Para \;\fbox{n= 2}:\; acrescentamos
- o ponto \;M\; médio de \;AE\; e a perpendicular a \;AE\; tirada por \;M\; — mediatriz — (recorrendo a \;(A, \;AE). (E,\;EA)),\; por exemplo).
- o ponto \;F\; numa intersecção \; \displaystyle (\perp_M AE) . (M,\;ME)\; e os catetos \;EF, \;FA\; triângulo retângulo isósceles de hipotenusa \;AE.\;
Para \;\fbox{n= 3}:\; acrescentamos a bissetriz do ângulo \; \displaystyle A\hat{E}F =\frac{\pi}{4}\; que determina o vértice \;D\; do quadrado na sua intersecção com \;AF. \; Como \;CD \parallel EF\; e uma paralela a \;EF\; fará um ângulo da mesma amplitude de \; \displaystyle A\hat{E}F =\frac{\pi}{4}\; sendo ângulo externo do triângulo determinado por estas últimas 3 retas e igual à soma dos ângulos internos a ele não adjacentes e que devem ser de iguais amplitudes —\;\displaystyle \frac{\pi}{8}\; para que os lados opostos a cada um deles sejam iguais, ou seja \; DC=CE\; já que \;C \; é tal que \;AE = AC+CD=d+l. \;
Para \;\fbox{n= 4}:\; acrescentam-se
- o ponto \;C\; como \; (\parallel_D EF).AM\;
- as retas \; \displaystyle (\perp_A AF)\; e \; \displaystyle (\perp_C EF)\;
- o ponto \;B\; como intersecção \; \displaystyle (\perp_A AF) . (\perp_C EF)\;
- os segmentos de reta \; AB, \;BC, \; CD, \;DA\; como lados do quadrado que procurámos.
Para \;\fbox{n= 5}:\; realçamos o interior do quadrado \;[ABCD].\; □
