16.6.16
quatro pontos, um em cada lado de qual quadrado?
Hoje vamos tratar de um outro tipo de problema de construção de quadrados, que nos tem aparecido repetidamente, a saber:
Para resolver este problema, é necessário olhar para as propriedades do quadrado. Tomem-se
| a construção de um quadrado do qual cada uma das retas dos seus lados passa por um só de quatro pontos \;A, \;B, \;C, \;D\; dados.. |
- quatro retas
- \;p, \;q, \;r,\; s, \; sendo
- \;p \perp q, \;q\perp r, \;r\perp s, \;s\perp p,\;
- p \parallel r, \; q \parallel s\;
- e igualmente distanciadas \;p\; de \;r\; e \,q\; de \;s\;
-
e os quatro pontos
- P,\; Q,\;R, \;S, \,
- respetivamente \;p.q, \;q.r, \; r.s,\;s.t,\;
- sendo, obviamente iguais os segmentos \;PQ, \;QR, \;RS, \; SP.\; das retas \;p, \;q, \;r,\; s, \; respetivamente.
- P,\; Q,\;R, \;S, \,
- se uma reta corta duas retas fazendo ângulos alternos internos iguais, cf (I.27), então estas retas são paralelas;
- qualquer segmento com extremidades em duas retas paralelas, cf (I.29), fazem com elas ângulos alternos internos iguais;
- segmentos de reta unindo extremidades de segmentos iguais e paralelos, cf (I.33), são iguais e paralelos;
- …
- E, em consequência, se cortarmos dois pares de retas paralelas igualmente distanciadas, por dois segmentos a fazer ângulos alternos internos iguais (cada um a cada um), esses segmentos são iguais.
Se tomarmos \;AC\; a ligar pontos das paralelas \;p\; e \;r\; e o ponto \;B\; de \;q,\; qual deve ser a relação de um reta tirada por \;B\; com \;q, \;s,\; AC\; para intersectar \;s\; de modo a ter os mesmos ângulos alternos internos ao cortar \;q, \; s\; em ângulos iguais aos feitos por \;AC\; ao cortar \;p, \;r?
Bastará tirar por \;B\; a perpendicular a \;AC\; porque, designando por \;I\; a intersecção das perpendiculares, \; A\hat{P}B= B\hat{I}A = 1 reto, \; e, em consequência, \;P\hat{B}I + A\hat{I}B = 2 retos,\; bem como \;Q\hat{A}I + A\hat{I}B = 2 retos,\; ou seja, \;Q\hat{A}I = P\hat{B}I.\;
De modo inteiramente análogo, se provaria que cada um dos ângulos feitos entre \;AC, \;r\; era igual a um dos ângulos feitos pela perpendicular a \;AC\; tirada por \;B\, com \;s\;.
Se \;BD\; não for perpendicular a \;AC,\;, na perpendicular a \;AC\; tirada por \;B\; encontramos um segundo ponto \;E\; de \;s\; de que nos tinha sido dado \;D.\; Este ponto \;E\; é tal que \;BE\perp AC\; e \;BE =AC, \; por estes serem segmentos com extremidades em pares de retas igualmente distanciadas e paralelas, por fazerem com elas iguais ângulos alternos internos: \;s=DE\;
Isto chega para resolver o nosso problema de construção.
\fbox{n=0}\;\;\; Não conhecemos mais que os pontos \;A, \;B, \;C, \;D\; dados.
Peguemos na régua e no compasso.
\fbox{n=1} Tira-se por \;B\; a perpendicular a \;AC \; que, intersectada pela circunferência de centro \;B\; e raio \;AC\; determina um ponto \;E\; da reta \;s\; que contém o lado oposto ao lado \;q\; que passa por \;B.\;\;\;\; DE=s
\fbox{n=2} Determinada a reta \;s\; pode tirar por \;A\; a perpendicular \;p\; a ela e tomar a intersecção \;p.s : \;\;\;S, \; vértice do quadrado.
Do mesmo modo, a perpendicular a \;s\; tirada por \;C\; que designamos por \;r\;, sendo o vértice \;R\; determinado por \;r.s\;
\fbox{n=3} Finalmente a perpendicular a \;p\; (ou a \;r\;) tirada por \;B\; que designamos por \;q\; e que é a reta que faltava para a determinação por \;p.q\; de \;P\; e por \;q.r\; de \;Q. \fbox{n=4} Apresenta-se o quadrado \;PQRS\; em que \;A\in p, \; B\in q, \; C \in r, \; D \in s\;
Este problema tem muitas soluções, claro.
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EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
- George E. Martin. Geometric Constructions Springer. New York; 1997
- Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
- Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.
- \;p, \;q, \;r,\; s, \; sendo
13.6.16
Quadratura de um par de hexágonos regulares
Temos vindo a apresentar construções de régua e compasso para determinar um quadrado de área igual à área de uma dada figura. Em todas elas, há uma preocupação de economia no que ao número de passos respeita. O número de passos de uma construção refere-se ao número de vezes que se recorre à régua ou ao compasso. A identificação de pontos como intersecção de retas com retas, de retas com circunferências, e de circunferências com circunferências não contam como passos da construção. Um dos problemas que nos é apresentado em [3] pede
| a construção de um quadrado de área igual à soma das áreas de dois dados hexágonos regulares, com o menor número de passos. |
| \fbox{n=0}\;\;\; | A figura dinâmica abaixo apresenta-nos um hexágono regular \;ABCDEF\; inscrito numa circunferência de centro \;O\, que sabemos ter raio igual ao lado do hexágono regular que aqui designamos por \;a= AB=BC=CD=DE=EF=FA.\; Podem ver-se ainda os diâmetros \;AD, \;BE, \;CF\; que dividem o hexágono em três paralelogramos equiláteros iguais \;OABC,\;OCDE, \;OEFA, \; ou em seis triângulos equiláteros iguais \;OAB, \;OBC, \;OCD, \;ODE, \;OEF, \;OFA\; e de lados iguais ao lado do hexágono ou ao raio da circunferência em que o hexágono se inscreve. |
| \fbox{n=1} | Tomámos o segmento \;BB_0\; sendo \;B_0\; o ponto médio de \;OA. \; O retângulo de dimensões \;BB_0 \times OB_0\; tem área igual ao triângulo \;OAB.\; Sabemos que \;OB_0 = \displaystyle \frac{a}{ 2}\; e que o quadrado de lado \;OB=a\; é igual à soma dos quadrados de lados \;OB_0 = \displaystyle \frac{a}{ 2}\; e \;BB_0:\; \;OB^2 =OB_0^2+BB_0^2. \; E, por isso podemos dizer que o quadrado de lado \;BB_0\; tem área igual à da figura que se obtém retirando ao quadrado de lado \;OB = a\; o quadrado de lado \;OB_0:\; \; \; BB_0^2 = a^2 - (\displaystyle \frac{a}{2})^2 = \displaystyle \frac{3}{4} \times a^2, \; ou seja, o quadrado de lado \;BB_0\; é, em área, três quartas partes do quadrado de lado \,a.\; A área do retângulo (de diagonal \;OB\;) é \;BB_0 \times OB_0 = k.a \times \frac{a}{2} = \frac{k}{2} a^2, \; em que \;k\; é tal que k^2=\frac{3}{4}.\; A área deste retângulo, igual à área do triângulo \;OAB,\; é dada pela parte \;\displaystyle \frac{k}{2} \; do quadrado de lado \;a\; e, em consequência, a área do hexágono regular de lado \;a\; é \;3k\times a^2.\; |
| \fbox{n=2} | Como sabemos todos os hexágonos regulares são semelhantes e podemos representar as diferentes classes de hexágonos regulares iguais entre si, por algum hexágono inscrito numa circunferência centrada em \;O\; que é o centro de um primeiro hexágono regular de lado \,a\; e área 3k\times a^2. \; Para representar a classe de hexágonos regulares com um dado lado \;b\; escolhemos o hexágono regular \;GHIJKL\; também centrado em \;O\; e do qual sabemos a área que é \; 3k.b^2\; E também sabemos que se houver um hexágono regular cuja área seja igual à soma das áreas dos hexágonos de lados \;a\; e \;b :\;\;\; 3k. a^2 + 3k.b^2 \; terá de ter um lado \;c:\;´\;\; 3k.c^2 = 3k.a^2+ 3k.b^2, ou seja tal que \; c^2 =a^2 + b^2.\; |
| \fbox{n=3} | Pelo que vimos, o lado do hexágono regular de lado \;c\; é tal que \;c^2= a^2+b^2\; ou seja é a hipotenusa deum triângulo retângulo de catetos \;a, \;b.\; que desenhámos tirando por \;G\, uma perpendicular a \;OG\; e tomando sobre essa perpendicular \;M\, tal que \;GM =a.\; |
| \fbox{n=4} | Qualquer dos hexágonos regulares inscritos na circunferência de centro \;O\; e raio \;OM\; tem área igual à soma das áreas dos hexágonos \;ABCDEF\; e \;GHIJKL,\; já que \;c^2 = a^2+b^2 \Leftrightarrow 3k.c^2 = 3k.a^2 + 3k. b^2.\; O hexágono \;PQRSTU\; está nessas condições. |
| \fbox{n=5} | Isolemos o hexágono regular \;GHIJKL.\; O nosso problema de quadratura de um par de hexágonos regulares dados fica reduzido à quadratura deste hexágono \;GHIJKL.\; |
| \fbox{n=6} | Fácil é ver que um retângulo como \;QSNV\; é igual em área ao hexágono \;PQRSTU\;. E também já sabemos determinar um quadrado de área igual a um retângulo. Assim: Toma-se um segmento, por exemplo \;QW\; igual à soma das dimensões do retângulo \;QV+VN\; e uma semicircunferência de diâmetro \;QW.\; Qualquer ponto dessa semicircunferência é vértice de um ângulo reto de lados a passar pelos extremos do diâmetro \;Q, \;W. \; Se tomarmos \;Z\; na semicircunferência e na perpendicular a \;QW\; tirada por \;V\;, os triângulos retângulos em \;V,\; \;ZQV\; e \;VWZ, \; e \frac{QV}{VZ} = \frac{VZ}{VW} ou, por ser \;VW=VN,\; podemos afirmar que a área do retângulo \;VQSN\; é igual à área do quadrado de lado \, VZ:\; QV \times VN = VZ^2 |
| \fbox{n=7} | Encontrámos assim o quadrado de área igual à soma das áreas de 2 hexágonos regulares dados: \;VXYZ\;\;\;\; |
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- George E. Martin. Geometric Constructions Springer. New York; 1997
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