16.6.16
quatro pontos, um em cada lado de qual quadrado?
Hoje vamos tratar de um outro tipo de problema de construção de quadrados, que nos tem aparecido repetidamente, a saber:
Para resolver este problema, é necessário olhar para as propriedades do quadrado. Tomem-se
| a construção de um quadrado do qual cada uma das retas dos seus lados passa por um só de quatro pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ dados.. |
- quatro retas
- $\;p, \;q, \;r,\; s, \;$ sendo
- $\;p \perp q, \;q\perp r, \;r\perp s, \;s\perp p,\;$
- $p \parallel r, \; q \parallel s\;$
- e igualmente distanciadas $\;p\;$ de $\;r\;$ e $\,q\;$ de $\;s\;$
-
e os quatro pontos
- $P,\; Q,\;R, \;S, \,$
- respetivamente $\;p.q, \;q.r, \; r.s,\;s.t,\;$
- sendo, obviamente iguais os segmentos $\;PQ, \;QR, \;RS, \; SP.\;$ das retas $\;p, \;q, \;r,\; s, \;$ respetivamente.
- $P,\; Q,\;R, \;S, \,$
- se uma reta corta duas retas fazendo ângulos alternos internos iguais, cf (I.27), então estas retas são paralelas;
- qualquer segmento com extremidades em duas retas paralelas, cf (I.29), fazem com elas ângulos alternos internos iguais;
- segmentos de reta unindo extremidades de segmentos iguais e paralelos, cf (I.33), são iguais e paralelos;
- …
- E, em consequência, se cortarmos dois pares de retas paralelas igualmente distanciadas, por dois segmentos a fazer ângulos alternos internos iguais (cada um a cada um), esses segmentos são iguais.
Se tomarmos $\;AC\;$ a ligar pontos das paralelas $\;p\;$ e $\;r\;$ e o ponto $\;B\;$ de $\;q,\;$ qual deve ser a relação de um reta tirada por $\;B\;$ com $\;q, \;s,\; AC\;$ para intersectar $\;s\;$ de modo a ter os mesmos ângulos alternos internos ao cortar $\;q, \; s\;$ em ângulos iguais aos feitos por $\;AC\;$ ao cortar $\;p, \;r$?
Bastará tirar por $\;B\;$ a perpendicular a $\;AC\;$ porque, designando por $\;I\;$ a intersecção das perpendiculares, $\; A\hat{P}B= B\hat{I}A = 1 reto, \;$ e, em consequência, $\;P\hat{B}I + A\hat{I}B = 2 retos,\;$ bem como $\;Q\hat{A}I + A\hat{I}B = 2 retos,\;$ ou seja, $\;Q\hat{A}I = P\hat{B}I.\;$
De modo inteiramente análogo, se provaria que cada um dos ângulos feitos entre $\;AC, \;r\;$ era igual a um dos ângulos feitos pela perpendicular a $\;AC\;$ tirada por $\;B\,$ com $\;s\;$.
Se $\;BD\;$ não for perpendicular a $\;AC,\;$, na perpendicular a $\;AC\;$ tirada por $\;B\;$ encontramos um segundo ponto $\;E\;$ de $\;s\;$ de que nos tinha sido dado $\;D.\;$ Este ponto $\;E\;$ é tal que $\;BE\perp AC\;$ e $\;BE =AC, \;$ por estes serem segmentos com extremidades em pares de retas igualmente distanciadas e paralelas, por fazerem com elas iguais ângulos alternos internos: $\;s=DE\;$
Isto chega para resolver o nosso problema de construção.
$\fbox{n=0}\;\;\;$ Não conhecemos mais que os pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ dados.
Peguemos na régua e no compasso.
$\fbox{n=1}$ Tira-se por $\;B\;$ a perpendicular a $\;AC \;$ que, intersectada pela circunferência de centro $\;B\;$ e raio $\;AC\;$ determina um ponto $\;E\;$ da reta $\;s\;$ que contém o lado oposto ao lado $\;q\;$ que passa por $\;B.\;\;\;\; DE=s$
$\fbox{n=2}$ Determinada a reta $\;s\;$ pode tirar por $\;A\;$ a perpendicular $\;p\;$ a ela e tomar a intersecção $\;p.s : \;\;\;S, \;$ vértice do quadrado.
Do mesmo modo, a perpendicular a $\;s\;$ tirada por $\;C\;$ que designamos por $\;r\;$, sendo o vértice $\;R\;$ determinado por $\;r.s\;$
$\fbox{n=3}$ Finalmente a perpendicular a $\;p\;$ (ou a $\;r\;$) tirada por $\;B\;$ que designamos por $\;q\;$ e que é a reta que faltava para a determinação por $\;p.q\;$ de $\;P\;$ e por $\;q.r\;$ de $\;Q.$ $\fbox{n=4}$ Apresenta-se o quadrado $\;PQRS\;$ em que $\;A\in p, \; B\in q, \; C \in r, \; D \in s\;$
Este problema tem muitas soluções, claro.
-
EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
- George E. Martin. Geometric Constructions Springer. New York; 1997
- Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
- Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.
- $\;p, \;q, \;r,\; s, \;$ sendo
13.6.16
Quadratura de um par de hexágonos regulares
Temos vindo a apresentar construções de régua e compasso para determinar um quadrado de área igual à área de uma dada figura. Em todas elas, há uma preocupação de economia no que ao número de passos respeita. O número de passos de uma construção refere-se ao número de vezes que se recorre à régua ou ao compasso. A identificação de pontos como intersecção de retas com retas, de retas com circunferências, e de circunferências com circunferências não contam como passos da construção. Um dos problemas que nos é apresentado em [3] pede
| a construção de um quadrado de área igual à soma das áreas de dois dados hexágonos regulares, com o menor número de passos. |
| $\fbox{n=0}\;\;\;$ | A figura dinâmica abaixo apresenta-nos um hexágono regular $\;ABCDEF\;$ inscrito numa circunferência de centro $\;O\,$ que sabemos ter raio igual ao lado do hexágono regular que aqui designamos por $\;a= AB=BC=CD=DE=EF=FA.\;$ Podem ver-se ainda os diâmetros $\;AD, \;BE, \;CF\;$ que dividem o hexágono em três paralelogramos equiláteros iguais $\;OABC,\;OCDE, \;OEFA, \;$ ou em seis triângulos equiláteros iguais $\;OAB, $ $\;OBC, \;OCD, \;ODE, \;OEF, \;OFA\;$ e de lados iguais ao lado do hexágono ou ao raio da circunferência em que o hexágono se inscreve. |
| $\fbox{n=1}$ | Tomámos o segmento $\;BB_0\;$ sendo $\;B_0\;$ o ponto médio de $\;OA. \;$ O retângulo de dimensões $\;BB_0 \times OB_0\;$ tem área igual ao triângulo $\;OAB.\;$ Sabemos que $\;OB_0 = \displaystyle \frac{a}{ 2}\;$ e que o quadrado de lado $\;OB=a\;$ é igual à soma dos quadrados de lados $\;OB_0 = \displaystyle \frac{a}{ 2}\;$ e $\;BB_0:\;$ $\;OB^2 =OB_0^2+BB_0^2. \;$ E, por isso podemos dizer que o quadrado de lado $\;BB_0\;$ tem área igual à da figura que se obtém retirando ao quadrado de lado $\;OB = a\;$ o quadrado de lado $\;OB_0:\; \; \; BB_0^2 = a^2 - (\displaystyle \frac{a}{2})^2 = \displaystyle \frac{3}{4} \times a^2, \;$ ou seja, o quadrado de lado $\;BB_0\;$ é, em área, três quartas partes do quadrado de lado $\,a.\;$ A área do retângulo (de diagonal $\;OB\;$) é $\;BB_0 \times OB_0 = k.a \times \frac{a}{2} = \frac{k}{2} a^2, \;$ em que $\;k\;$ é tal que $k^2=\frac{3}{4}.\;$ A área deste retângulo, igual à área do triângulo $\;OAB,\;$ é dada pela parte $\;\displaystyle \frac{k}{2} \;$ do quadrado de lado $\;a\;$ e, em consequência, a área do hexágono regular de lado $\;a\;$ é $\;3k\times a^2.\;$ |
| $\fbox{n=2}$ | Como sabemos todos os hexágonos regulares são semelhantes e podemos representar as diferentes classes de hexágonos regulares iguais entre si, por algum hexágono inscrito numa circunferência centrada em $ \;O\;$ que é o centro de um primeiro hexágono regular de lado $\,a\;$ e área $3k\times a^2. \;$ Para representar a classe de hexágonos regulares com um dado lado $\;b\;$ escolhemos o hexágono regular $\;GHIJKL\;$ também centrado em $\;O\;$ e do qual sabemos a área que é $\; 3k.b^2\;$ E também sabemos que se houver um hexágono regular cuja área seja igual à soma das áreas dos hexágonos de lados $\;a\;$ e $\;b :\;\;\; 3k. a^2 + 3k.b^2 \;$ terá de ter um lado $\;c:\;´\;\; 3k.c^2 = 3k.a^2+ 3k.b^2$, ou seja tal que $\; c^2 =a^2 + b^2.\;$ |
| $\fbox{n=3}$ | Pelo que vimos, o lado do hexágono regular de lado $\;c\;$ é tal que $\;c^2= a^2+b^2\;$ ou seja é a hipotenusa deum triângulo retângulo de catetos $\;a, \;b.\;$ que desenhámos tirando por $\;G\,$ uma perpendicular a $\;OG\;$ e tomando sobre essa perpendicular $\;M\,$ tal que $\;GM =a.\;$ |
| $\fbox{n=4}$ | Qualquer dos hexágonos regulares inscritos na circunferência de centro $\;O\;$ e raio $\;OM\;$ tem área igual à soma das áreas dos hexágonos $\;ABCDEF\;$ e $\;GHIJKL,\;$ já que $\;c^2 = a^2+b^2 \Leftrightarrow 3k.c^2 = 3k.a^2 + 3k. b^2.\;$ O hexágono $\;PQRSTU\;$ está nessas condições. |
| $\fbox{n=5}$ | Isolemos o hexágono regular $\;GHIJKL.\;$ O nosso problema de quadratura de um par de hexágonos regulares dados fica reduzido à quadratura deste hexágono $\;GHIJKL.\;$ |
| $\fbox{n=6}$ | Fácil é ver que um retângulo como $\;QSNV\;$ é igual em área ao hexágono $\;PQRSTU\;$. E também já sabemos determinar um quadrado de área igual a um retângulo. Assim: Toma-se um segmento, por exemplo $\;QW\;$ igual à soma das dimensões do retângulo $\;QV+VN\;$ e uma semicircunferência de diâmetro $\;QW.\;$ Qualquer ponto dessa semicircunferência é vértice de um ângulo reto de lados a passar pelos extremos do diâmetro $\;Q, \;W. \;$ Se tomarmos $\;Z\;$ na semicircunferência e na perpendicular a $\;QW\;$ tirada por $\;V\;$, os triângulos retângulos em $\;V,\;$ $\;ZQV\;$ e $\;VWZ, \;$ e $$ \frac{QV}{VZ} = \frac{VZ}{VW}$$ ou, por ser $\;VW=VN,\;$ podemos afirmar que a área do retângulo $\;VQSN\;$ é igual à área do quadrado de lado $\, VZ:\;$ $$ QV \times VN = VZ^2$$ |
| $\fbox{n=7}$ | Encontrámos assim o quadrado de área igual à soma das áreas de 2 hexágonos regulares dados: $\;VXYZ\;\;\;\;$ |
-
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The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
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- George E. Martin. Geometric Constructions Springer. New York; 1997
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