Exercícios interativos: Soluções(II)

Na entrada de 21 de Maio, era proposto um exercício em que se davam quatro pontos $A,A′,B, B′$, colineares e se propunha ao leitor que determinasse um ponto M tal que $$\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=\frac{\overline{MA'}}{\overline{MB'}}$$
Claro que pode haver mais que uma resolução, mas aqui propomos que se comece por observar que $$\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=\frac{\overline{MA'}}{\overline{MB'}} \Longleftrightarrow \overline{MA}\times\overline{MB'} = \overline{MA'}\times\overline{MB} $$ e, considerar $M$ o pé da da altura de um triângulo retângulo relativamente à sua hipotenusa $AB'$, isto é, inscrito numa circunferência de diâmetro $AB'$. Qualquer ponto $E$ dessa circunferência é tal que $$ME^2=\overline{MA}\times\overline{MB'}$$.
Para que $$\overline{MA}\times\overline{MB'}= \overline{MA'}\times\overline{MB}$$ é necessário que esse ponto $E$ seja ao mesmo tempo ponto da circunferência de diâmetro $BA'$. A construção seguinte ilustra isso mesmo.
Este é uma Apliqueta Java criado utilizando o GeoGebra de www.geogebra.org - parece que não tem o Java instalado, aceda a www.java.com


Pode ver a sucessão dos passos da construção, clicando no botão Reproduzir ou, passo a passo, clicando sucessivamente em &box;{>>} do conjunto dos controles (em baixo, à esquerda)