Exercícios interativos: Soluções (IV)

Na entrada de 26 de Maio, propomos ao leitor a determinação da imagem de um dado ponto $P$ por inversão relativamente a uma circunferência de centro $O$.
Chamemos $r$ ao raio desta circunferência. A construção dinâmica que se segue ilustra os passos da resolução só com compasso, a saber:

1. traça-se a circunferência, a azul, centrada em $P$ e de raio $\overline{PO}$ que interseta a circunferência de centro $O$ nos pontos $D$ e $E$: $\overline{PO}=\overline{PD}=\overline{PE}$;
2. com centros em $D$ e em $E$ traçam-se circunferências, a castanho, a passar por $O$ que se intersetam em $P'$, para além de $O$: $\overline{DO}=\overline{DP'}=\overline{EO}=\overline{EP'}=r$.

Este é uma Apliqueta Java criado utilizando o GeoGebra de www.geogebra.org - parece que não tem o Java instalado, aceda a www.java.com


$P'$, a vermelho, é o ponto que procuramos, como demonstramos em seguida:

1. A construção foi feita para um ponto $P$ de tal modo que $\overline{OP}>\frac{r}{2}$ para que a circunferência de centro $P$ e raio $\overline{PO}$ intersete a circunferência de centro $O$ e raio $r$. $O$, $P$ e $P'$ são colineares, já que são equidistantes de $D$ e $E$ ($\overline{OD}=\overline{OE}=r$, $\overline{PD}=\overline{PE}=\overline{OP}$ e $\overline{P'D}=\overline{P'E}=r$) incidindo na mediatriz de $DE$;
2. Lembramos que a área de um triângulo qualquer, de lados $a, b, c$, é dada por $\frac{1}{2}ab.sen(\hat{a,b})$ ou $\frac{1}{2}ac.sen(\hat{a,c})$ ou $\frac{1}{2}bc.sen(\hat{b,c})$ (ver adiante).
   Consideremos os triângulos isósceles $ODP$ e $ODP'$ ($\overline{PD}=\overline{PO}$ e $\overline{DO}=\overline{DP'}$) que são semelhantes por terem um ângulo comum $\angle\hat{O}$.
   A área do triângulo $\Delta ODP'$ pode ser calculada $$\frac{1}{2}.\overline{OD}.\overline{DP'}. sen(\angle O\hat{D}P') = \frac{1}{2}.r^2.sen(\angle O\hat{D}P'), $$ porque $\overline{DO}=\overline{DP'}=r$. A mesma área pode ser formulada de outro modo: $$\frac{1}{2}.\overline{OD}.\overline{DP'}. sen(\angle O\hat{D}P')= \frac{1}{2}.\overline{OP}.\overline{OP'}. sen(\angle O\hat{D}P')$$ porque $\overline{OD}=\overline{OP}$ e $\overline{DP'}=\overline{OP'}$.
   Comparando, obtemos $$\frac{1}{2}.r^2.sen(\angle O\hat{D}P')= \frac{1}{2}.\overline{OP}.\overline{OP'}. sen(\angle O\hat{D}P')$$ de onde se tira $$\overline{OP}.\overline{OP'}=r^2,$$ ou seja $$\frac{OP}{r}. \frac{OP'}{r}=1$$ correspondendo a: Tomando para unidade o raio $r$ da circunferência de centro $O$, $\overline{OP}\times \overline{OP'}=1$

Nota à margem sobre a área de um triângulo.

Este é uma Apliqueta Java criado utilizando o GeoGebra de www.geogebra.org - parece que não tem o Java instalado, aceda a www.java.com

Observando a figura dinâmica ao lado, pode verficar que a área de $ABC$, $\frac{1}{2}.b.h_b$ pode ser escrita $\frac{1}{2}.b.c.sen(b\hat{,}c)$, por ser $\frac{h_b}{c}=sen \alpha=sen(\pi-\alpha)$