Usando a inversão para determinar a circunferência que passa por um ponto e é tangente a duas circunferências dadas

Apresentámos exemplos de problemas que se resolvem com recurso à inversão. A construção desta entrada ilustra a
determinação da(s) circunferência(s) tangente(s) a duas circunferências dadas e passa(m) por um ponto dado.
Como se pode ver, pelo caso apresentado, recorrer à inversão torna tudo mais fácil. Se eu quero uma circunferência tangente a outras duas, bastar-me-á passar às imagens por alguma inversão dessas circunferências e qualquer das retas tangentes comuns às duas circunferências imagens será correspondente, pela mesma inversão, a uma circunferência tangente às duas circunferências dadas.Se quero que essa circunferência passe por um dado ponto P, basta-me tomar a circunferência de inversão centrada em P.

1. São dados P e circunferências de centros A e B.
2. Começo por tomar uma circunferência auxiliar centrada em P e, por comodidade, a cortar as duas circunferências originalmente dadas. Se assim fizermos, as imagens por inversão dessas circunferências serão circunferências definidas, para cada uma, por dois pontos de intersecção com a circunferência auxiliar e pelo centro A ou pelo centro B.
3. Definidas essas circunferências (imagens), basta-nos tirar alguma tangente comum às duas. Lembramos que há 4 tangentes comuns às duas (duas interiores e duas exteriores). No caso da nossa construção, determinámos as duas tangentes exteriores.
4. Pela inversão, que definimos inicialmente, a cada reta tangente às imagens das circunferências originalmente dadss corresponde uma circunferência a elas tangentes e a passar por P

Determinar a circunferência que passa por dois pontos e corta uma reta segundo um ângulo dado.

Há um grande número de construções geométricas, de régua e compasso, que são feitas recorrendo à transformação de inversão relativamente a uma circunferência. Vamos apresentar um problema em que se usa a inversão:
Determinar a circunferência que passa por dois pontos — A e B — dados, e corta uma reta — r — dada, segundo um ângulo — α — dado.

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Para ajudar:

Diz-se que uma reta corta uma circunferência segundo um dado ângulo quando a corda determinada pela reta e a tangente em cada um dos seus extremos formam um ângulo igual ao dado.

Vale a pena lembrar que a envolvente das retas que cortam uma circunferência segundo um dado ângulo é uma nova circunferência concêntrica da anterior. Isso mesmo está ilustrado na construção ao lado. Esse resultado é importante para resolver o problema proposto. Clique no botão > ao fundo à esquerda para ver a circunferência que é tangente a todas as retas que cortam a circunferência segundo o ângulo dado. Depois, quando quiser obter uma reta que corte a circunferência original obtida num ponto qualquer, basta tirar a tangente por esse ponto à envolvente.

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Sigamos agora as etapas de resolução do problema proposto, acompanhando-as na ilustração abaixo

1. Começamos com os dados iniciais — α, A, B e r — para construirmos a circunferência que passa por A e B e é cortada por r segundo o ângulo α
Vamos criar as condições para determinarmos uma circunferência relacionada com r (por inversão) e uma reta que a corte segundo o ângulo α (isso já sabemos fazer, não é?). Claro que, pela mesma inversão, esta última reta será transformada na circunferência que cortará a reta r segundo α.
Para isso, teremos de tomar uma circunferência auxiliar, em relação à qual se façam as inversões. No nosso caso, tomamos, para facilitar, a circunferência de centro em A e que passa por B e que, nas condições da nossa figura, corta a reta r em F e G
2. Em relação a esta circunferência auxiliar, a imagem de r é uma circunferência que passa por F=F', G=G' e A=∞'_r. Claro que pode tomar qualquer circunferência para auxiliar e calcular as imagens de quaisquer dois pontos de r que com o centro da circunferência de inversão definem a imagem de r.
3. Para determinar uma reta que corta a imagem de r segundo um ângulo α,tomamos uma tangente num ponto qualquer da circunferência imagem de r, no caso usámos A, e marcámos o ângulo α em A e a partir dele a circunferência envolvente das retas que cortam a circunferência imagem de r segundo o ângulo α
4. Tirámos, por B, a tangente à circunferência envolvente, que corta a circunferência imagem de r segundo α
5. Finalmente a imagem desta reta BN, pela inversão relativamente à circunferência auxiliar de centro A é a circunferência que passa por A, B e N (Tomámos N=N' da reta e da circunferência de inversão) que corta a reta r segundo α, como podemos verificar na etapa final da construção.

Teorema de Mohr-Mascheroni

As construções geométricas com régua e compasso trabalham com dois tipos de figuras: as circunferências (compasso) e as retas (régua). Estas figuras ficam determinadas por dois pontos — a reta — e por três pontos — a circunferência. Nas últimas entradas, vimos que, só com compasso, podemos determinar o centro de uma circunferência dada por três pontos e também vimos como determinar, só com compasso, os pontos de intersecção de quaisquer duas dessas figuras definidas unicamente pelos seus pontos. Para isso, usámos a inversão relativamente a uma ou várias circunferências.
Assim demonstrámos que
Todas as construções de régua e compasso podem ser feitas só com recurso a compasso (ou só com circunferências)
Este resultado é conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni.

Exercícios interativos: Soluções (VII)

Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos A, B, C e D dados, determine o ponto de interseção das retas AB e CD.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:




Para determinarmos a intersecção da reta (A,B) com a reta (C,D) recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.

1. Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto P e uma circunferência nele centrada.
2. Por inversão, relativamente a P e à circunferência nele centrada, determinamos
   • A' e B'
   • a circunferência que passa por A', B', P é o transformado de AB pela inversão
   • C' e D'
   • a circunferência que passa por C', D', P é o transformado de CD pela inversão
   • as circunferências (A',B',P) e (C',D', P) intersetam-se em P e em I' sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção I de (A,B) com (C,D)
3. Determinar I é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de I'

Este processo pode ser utilizado para determinar a intersecção de duas figuras — retas com circunferências, circunferências com circunferências, etc.

Exercícios interativos - Soluções (VI)

Na entrada de 30 de Maio, propomos ao leitor que,
com compasso e ponto a ponto, desenhe a circunferência que passa pelos três pontos I, J e K dados
Para realizar esse exercício, disponibilizávamos a ferramenta "compasso" que permite transferir comprimentos, embora tal possa ser feito com recurso a circunferências.
A construção dinâmica, a seguir apresentada, ilustra as etapas de uma resolução possível desse problema:

1. A primeira etapa consiste na construção de três circunferências: uma de centro I e raio JK - chamemos-lhe i - , outra de centro J e raio IK — j — e a terceira de centro K e raio IJ — k —; duas destas circunferências intersetam a terceira em pontos equidistantes do centro da terceira. No caso tomámos C₁ de k.ie C₂ de j.i que são pontos da circunferência que passa por I, J e K, circunscrita ao triângulo [IJK] e também aos triângulos [C₁ KI] e [C₂ JI] com ele congruentes. Repare-se, para exemplo, que C₁ K = IJ , C₁ I = KJ e IK=IK para ver que [C₁ KI] = [JKI].
2. Como já vimos em entradas anteriores, o centro desta circunferência que passa por C₁ e C₂ terá a sua imagem, por inversão relativamente a I e i, na interseção das circunferências centradas em C₁ e C₂ (de i) e a passar por I. Por isso, a segunda etapa da nossa resolução consiste nesta determinação de C'.
3. Finalmente, determina-se o correspondente C de C' por inversão relativamente a I e i.
4. E com centro em C traça-se a circunferência que passa por C₁, C₂, I, J e K.

Exercícios interativos: Soluções (V)

Na entrada de 28 de Maio, propomos ao leitor a determinação do centro de uma dada circunferência com recurso exclusivamente a circunferências
A construção dinâmica, que se apresenta a seguir, ilustra as etapas da resolução desse problema:

1. Toma-se um ponto P qualquer sobre a circunferência original e uma circunferência, a azul, de centro P que intersete a original em dois pontos A e B, a roxo;
2. Com centros em A e B traçam-se as circunferências a roxo que passam por P e também se intersetam em C', a castanho;
3. Com centro em C' traça-se a circunferência, a castanho, que passa por P e interseta a circunferência a azul nos pontos D e E, amarelos;
4. Finalmente as circunferências centradas em D e E, a amarelo, que passam por P, intersetam-se ainda no ponto C, a vermelho.

A entrada anterior que tratava da construção da imagem de um ponto qualquer por inversão relativamente a uma circunferência de centro C, mostra que a imagem de C, C', por uma inversão de centro em P é a interseção das circunferências centradas em A e B que passam por P. Assim, obtido C', resta-nos obter C como imagem de C' pela inversão relativamente à circunferência azul e seu centro P. O ponto C é o centro da circunferência original.

Exercícios interativos: Soluções (IV)

Exercícios interativos: Soluções(III)

A entrada de 24 de Maio mostrava um quadro para construção, com Cinderella, em que eram dados um círculo e um ponto A e propunha-se ao leitor
a determinação, sem acesso ao centro da circunferência, da sua tangente em A.

Com recurso ao GeoGebra, apresenta-se a seguir uma resolução de que se reproduzem os passos fundamentais:

1. a castanho, determina-se a reta que passa pelo centro não conhecido: uma nova circunferência de centro em A que interseta a original em dois pontos determina os dois vértices da base de um triângulo isósceles; a reta que contém a altura relativa a A passa pelo centro desconhecido;
2. a laranja, escolhem-se dois pontos equidistantes de A, sobre essa reta, e determina-se a perpendicular a ela que é a tangente em A (a vermelho).

Exercícios interativos: Soluções(II)

Estamos a restaurar mal, que os tempos são outros, a solução de um exercício interactivo proposto em 21 de Maio de 2013 que foi "deprecated" até retorcido se ver o texto e nada se ver da construção. Por não termos culpa, não pedimos desculpa.

Exercícios interativos: Soluções (I)

Temos vindo a propor exercícios interativos - problemas para resolver usando construções dinâmicas com o Cinderella - sobre assuntos que já foram tratados (mais ou menos profundamente, há mais ou menos tempo). E prometemos que escreveríamos sobre a sua resolução ao fim de algum tempo. É o que vamos começar hoje mesmo a fazer.

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A primeira construção (exercício interativo), de 19 de Maio, apresentava um dado quadrilátero ABCD e pedia aos leitores a determinação dos centros de todas as possíveis homologias que transformam ABCD num losango A'B'C'D'



Para este caso basta rever ou reler a entrada determinação de uma homologia que transforma um dado quadrilátero num losango

Exercício interativo: Determinar a interseção de AB com CD, usando circunferências.

Nesta entrada, propomos-lhe que, com compasso e ponto a ponto,
determine o ponto de interseção das retas AB e CD..
Sugerimos que utilize a circunferência p de centro P da figura e a ferramenta "Circunferência por 3 pontos" para substituir o trabalho correspondente ao exercício da entrada anterior.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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