Transporte da razão dupla (esquema cíclico)

Como já tínhamos antecipado na entrada anterior, vamos agora transportar razões duplas seguindo uma esquema cíclico. A construção que segue serve de exemplo.
Tomámos n retas (n=6, no caso) - {r_i, i = 1, 2, ..., n} - todas incidentes num ponto D. Na primeira reta, r₁, tomamos 3 pontos A, B, C quaisquer, que são transferidos por uma composta de perspetividades para a última das retas, r₁ no caso. Claro que estas perspetividades deixam invariante o ponto D incidente em todas as retas r_i
Nestas condições, os correspondentes pontos A', B' C' em r₆ serão tais que (A', B'; C', D') = (A, B; C, D), já que a razão dupla é preservada por perspetividade.
Tome-se agora o ponto AA'.BB', chamemos-lhe P. Há uma perspetividade de centro P que transforma A em A', B em B' e D em D e transforma também C em C' precisamente porque (A', B'; C', D') = (A, B; C, D). E isso quer dizer que CC' passa por AA'.BB'
Claro que esta construção serve de modelo para provar um teorema para qualquer n, natural.
Pode mover-se A, B ou C e verificar que o ponto P (AA'.BB'.CC') se mantém invariante. Claro que se mudarmos a posição de alguma retas ou algum centro de alguma das perspetividades do esquema, a perspetividade que leva de pontos de r para pontos de r' será outra e também será outro o seu centro.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Resultado inteiramente análogo pode ser observado para n=5, como ilustra a construção ao lado.
Movendo A,B, C poderá verificar o resultado: a perspetividade de centro AA'.BB' que tansforma os pontos A, B e D da reta r nos pontos A', B', D da reta r' também transforma C em C'.

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Seguindo
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011