Teorema de Armin Saam (primeira parte e respetiva ilustração)

Richter-Gebert chama a atenção para a beleza e interesse de um Teorema atribuído a Armin Saam que aqui apresentamos em duas ilustrações dinâmicas. Trata-se de invariâncias para um esquema cíclico de perspetividades... Na nossa construção tomamos 5 retas {r_i, i=1,2,3,4,5} inicidindo todas no ponto O e sobre cada r_i (a negro) marcamos um ponto P_i (em castanho) que utilizaremos como centro de perspetividade.
A figura é bem elucidativa do que fizemos:
Começamos por tomar A₁ (verde) sobre r₁. Para obter A₂ sobre r₂ como imagem de A₁ pela perspetividade de centro P₄: {A₂}= A₁P₄.r₂. E, sucessivamente, {A₃}=A₂P₅.r₃, {A₄}=A₃P₁.r₄, {A₅}=A₄P₂.r₅ até {A₆}=A₅P₃.r₁.
O mais natural é que A₁ não coincida com A₆. Quando A₁ se desloca sobre r₁ aproximando-se de O, A₂ afasta-se de O, A₃ aproxima-se de O, etc. Alternativamente, os pontos A_i, de ordem par ou ímpar, aproximam-se ou afastam-se de O.
Em particular, A₆ move-se sobre r₁ no sentido contrário ao movimento de A₁ e é, portanto, de esperar que haja uma posição C em que A₁ e A₆ coincidem.
Essa posição C pode ser determinada como conjugado harmónico de O relativamente a A₁ e A₆, ou seja (A₁, A₆; C, O) é um quaterno harmónico, que se mantém invariante quando A₁ se desloca sobre A₁. Isso está ilustrado na figura.
Nesta configuração de um número ímpar n de retas passando por um porto comum O, considerando o transformado A_n+1 de A₁ pela composição cíclica de perspetividades (esquema da figura), acontece que
A_n+1=A₁ numa posição C quando e só quando (A₁,A_n+1; C, O)=-1,
como pode verificar quando desloca A₁ sobre r₁.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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Seguindo
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011