Projetivamente, o Teorema de Menelaus

Nas anteriores entradas, ilustrámos a invariância por transformação projetiva do produto de razões simples de três ternos de pontos, cada um deles sobre um lado de um triângulo orientado.
Na orientação de $A$ para $B$ para $C$, tomámos $\frac{AX}{XB},\; \frac{BY}{YC},\; \frac{CZ}{ZA}\;$ em que $X$ é um ponto da reta $AB$, $Y$ de $BC$ e $Z$ de $CA$. Para além de conjeturar que o produto de razões obtido pelo esquema cíclico é preservado pelas transformações projetivas verificámos que para dadas posições de $X,\; Y,\; Z$ se obtém o valor $1$, exatamente quando $CX,\; AY,\; BZ$ concorrem num ponto comum $D$ (Teorema de CEVA). Um feixe de três retas tiradas por $A, B$ e $C$ corta os lados $BC,\; CA$ e $AB$ em pontos $Y,\; Z$ e $X$ de tal modo que
$\frac{AX}{XB} \times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA} = 1$
Nesta entrada, vamos ver e demonstrar o que acontece quando os três lados são cortados por uma reta, isto é, quando $X$ da reta $AB$, $Y$ da reta $BC$ e $Z$ da reta $CA$ são colineares.
A construção que se segue sugere que
Se num triângulo $ABC$ orientado, os lados $AB,\; BC,\; CA$ forem cortados, respetivamente, por uma reta em $X,\; Y,\; Z$ então
$\frac{AX}{XB} \times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA}= -1$
Este resultado, que a construção dinâmica ilustra, é conhecido como Torema de Menelaus, que demonstraremos.

[A.A.M.]
Recomendamos que se desloque $C$, $X$ e $Y$ para verificar resultados
Se tomarmos as retas $AY$ e $BZ$ e o ponto $D$ em que elas se encontram e chamarmos $X'$ ao ponto $AB.CD$:

1. a pontual $\{A,\; X',\; B,\; X\}$ obtida por secção, pela reta $AB$, do quadrilátero completo de vértices $[C,\; Z,\; D,\; Y]$ , do qual $A$ e $B$ são pontos diagonais, $CD$ e $ZY$ são diagonais, é um quaterno harmónico e, por isso,
   $(A,\; B;\; X',\; X)= \frac{AX'}{AX} : \frac{BX'}{BX}= -1$ <\center>
   e, em consequência,
   $ \frac{AX'}{AX} = -\frac{BX}{BX'} = -\frac{XB}{X'B} \rightarrow \frac{AX}{XB} = - \frac{AX'}{X'B}$
2. $X',\; Y,\; Z$ estão nas condições da hipótese de Ceva e, por isso, verifica-se
   $\frac{AX'}{X'B} \times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA} = 1$
   E, como já vimos que
   $\frac{AX}{XB} = - \frac{AX'}{X'B}$,
   $\frac{AX}{XB} \times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA} = -1$
   

Fica assim demonstrado projetivamente o teorema de Menelaus.

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Seguindo
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011