Teorema de CEVA

Temos vindo a abordar transportes de razões duplas por esquemas cíclicos que envolvem transformações projetivas, particularmente, perspetividades. Os resultados de Armin Saam, que ilustrámos nas entradas anteriores, são muito interessantes. Ficaram por demonstrar.
Teoremas como os de Ceva e Menelaus, por aqui já abordados em entradas antigas, aparecem sempre ligados à geometria euclidiana com recurso a razões de comprimentos de lados de triângulos,… sem nos determos em procurar e revelar a sua natureza projetiva. Temos vindo a seguir Richter-Gebert, que nos revela a natureza projetiva desses teoremas e importância que podem ter para a compreensão das estruturas de outros teoremas de incidência.

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Para olhar de novo para o Teorema de Ceva, retomamos a razão simples de 3 pontos de uma reta, $A, X, B$, a saber $$(AXB)=\frac{AX}{XB}$$ em que $AX=A-X$ e $XB=X-B$, depois de escolhido um determinado sentido ou orientação (da esquerda para a direita ou no sentido contrário dos ponteiros do relógio,…). Se $A$ estiver à esquerda de $X$ e este à esquerda de $B$, $AX=A-X < 0 $ e $XB=X-B < 0 $ e logo $(AXB)>0$. Se $X$ estiver à esquerda de $A$, ou à direita de $B$ (fora do segmento orientado de $A$ para $B$), $(AXB) > 0$.
1.

Por favor habilite Java para uma construçãoo interativa (com Cinderella).

Na construção acima, começamos por tomar dois pontos $A, B$ e um ponto X sobre a reta $AB$ e uma orientação. Poderá deslocar X sobre a a reta AB e confirmar valores e sinais de $AX$, $BX$ e $(AXB)$ para as diversas posições de $X$.
Também tomamos um ponto $C$ (qualquer, não incidente em $AB$) de modo a verificar que os triângulos $AXC$ e $XBC$, tendo áreas iguais a $$AX\times\frac{h_C}{2} \; \mbox{e} \; BX\times \frac{h_C}{2},$$ a razão das áreas $[AXC]$ e $[XBC]$ desses triângulos orientados é igual à razão simples $(AXB)$: $$\frac{AX}{XB}=\frac{[AXC]}{[XBC]} $$

2.
Na construção dinâmica seguinte, tomamos um ponto $P$ sobre $XC$ entre $X$ e $C$. Sabemos que para cada $X$, há um número real $\lambda$ tal que $X=(1-\lambda)C+\lambda.P$ (sendo $X=P \leftrightarrow \lambda = 1$).

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E podemos escrever $$\frac{AX}{XB}=\frac{[AXC]}{[XBC]}= \frac{[A(1-\lambda)C+\lambda.P)C]}{[(1-\lambda)C+\lambda.P)BC]}=\frac{[APC]}{[PBC]}$$ que pode confirmar na figura dinâmica, deslocando $C$ no plano, $P$ sobre $XC$, $X$ sobre $AB$

3.
Finalmente, na figura abaixo, tomamos os pontos $Y$ e $Z$ de interseção de $AP$ com $BC$ e de $BP$ com $AC$. Claro que, pelo raciocínio análogo ao anteriores aplicados a $X$ que nos levou até $$\frac{AX}{XB}=\frac{[AXC]}{[XBC]}=\frac{[APC]}{[PBC]},$$ podemos garantir que $$\frac{BY}{YC}=\frac{[BYA]}{[YCA]}=\frac{[BPA]}{[PCA]}\; \;\mbox{e} \; \; \frac{CZ}{ZA}=\frac{[CZB]}{[ZAB]}=\frac{[CPB]}{[PAB]},$$

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para, conforme sugere a figura, concluirmos que $$\frac{AX}{XB}\times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA} = \frac{[APC]}{[PBC]}\times \frac{[BPA]}{[PCA]} \times \frac{[CPB]}{[PAB]} = 1 $$ Pode verificar que este resultado da invariância do produto das razões de segmentos orientados, uma volta na orientação considerada a começar em A, como fizemos no nosso exemplo, é verdadeiro para um ponto P qualquer: desloque X sobre AB, P sobre XC para um C qualquer não incidente em AB.
4.
Fica assim bem ilustrado o resultado conhecido como Teorema de CEVA, que se pode enunciar como segue:
Se um triângulo $ABC$ tem os lados AB, BC, CA e sobre cada um deles tomarmos respetivamente os pontos $X, Y, Z$ de tal modo que as retas AY, BZ e CX concorrem num ponto P, então $$\frac{AX}{XB}\times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA} =1$$

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Seguindo
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011