A partir das considerações sobre o Teorema de Ceva

Na anterior entrada, demonstrámos o Teorema de Ceva ou que
Se um triângulo $ABC$ tem os lados AB, BC, CA sobre os quais tomamos os pontos $X \in AB, Y \in BC, Z \in AC$. Se as retas AY, BZ e CX concorrem num ponto P, então $$\frac{AX}{XB}\times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA} =1$$

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar cada um dos vértices do triângulo e o ponto D
Usámos, nessa demonstração, alguns resultados que podemos considerar da geometria euclidiana, mas a invariância da relação estabelecida é claramente projetiva, no sentido de que se trata do produto de razões simples de três pontos colineares e essa invariância é afinal projetiva pois é preservada por transformações projetivas como ilustra a figura dinâmica que se segue.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar livremente os pontos X sobre AB, Y sobre BC e Z sobre CA e verificar que valores toma o produto $$\frac{AX}{XB} \times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA}$$ para as diversas posições desses pontos.
Fizémos a construção considerando um triângulo equilátero e uma transformação projetiva (no caso, uma homologia de centro e eixo conhecidos). Esperamos ainda que verifiquem que o produto daquelas razões simples de ternos de pontos colineares é preservado pela transformação projetiva.

Sabe-se que quando $AY, BZ$ e $CX$ são medianas de $ABC$ equilátero $AX=XB=BY=YC=CZ=ZA$ e obviamente $$\frac{AX}{XB}\times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA}=1$$. Bastaria isto e a invariância preservada pelas transformações projetivas como prova projetiva do Teorema de Ceva.

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Seguindo
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011